Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimiooltgt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimiooltgt 40228
Description: The preimage of an open interval is the intersection of the preimage of an unbounded below open interval and an unbounded above open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimiooltgt.1 𝑥𝜑
pimiooltgt.2 (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
pimiooltgt.3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
pimiooltgt.4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
pimiooltgt (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} = ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem pimiooltgt
StepHypRef Expression
1 pimiooltgt.1 . . . . 5 𝑥𝜑
2 pimiooltgt.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
32adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐿 ∈ ℝ*)
433adant3 1079 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐿 ∈ ℝ*)
5 pimiooltgt.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
65adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅 ∈ ℝ*)
763adant3 1079 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
8 simp3 1061 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅))
9 iooltub 39146 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐵 < 𝑅)
104, 7, 8, 9syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐵 < 𝑅)
11103exp 1261 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐵 < 𝑅)))
121, 11ralrimi 2951 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐵 < 𝑅))
13 ss2rab 3657 . . . 4 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐵 < 𝑅))
1412, 13sylibr 224 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅})
15 ioogtlb 39128 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐿 < 𝐵)
164, 7, 8, 15syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐿 < 𝐵)
17163exp 1261 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐿 < 𝐵)))
181, 17ralrimi 2951 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐿 < 𝐵))
19 ss2rab 3657 . . . 4 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐿 < 𝐵))
2018, 19sylibr 224 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})
2114, 20ssind 3815 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}))
22 elinel1 3777 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅})
23 ssrab2 3666 . . . . . . . . . 10 {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ⊆ 𝐴
2423sseli 3579 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} → 𝑥𝐴)
2522, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}) → 𝑥𝐴)
2625adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝑥𝐴)
2726, 3syldan 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝐿 ∈ ℝ*)
2826, 6syldan 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝑅 ∈ ℝ*)
29 pimiooltgt.4 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3026, 29syldan 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ∈ ℝ*)
31 mnfxr 10040 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → -∞ ∈ ℝ*)
3327mnfled 39073 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → -∞ ≤ 𝐿)
34 elinel2 3778 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})
35 rabidim2 38769 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} → 𝐿 < 𝐵)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}) → 𝐿 < 𝐵)
3736adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝐿 < 𝐵)
3832, 27, 30, 33, 37xrlelttrd 11935 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → -∞ < 𝐵)
3932, 30, 38xrltned 39037 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → -∞ ≠ 𝐵)
4039necomd 2845 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ≠ -∞)
41 pnfxr 10036 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → +∞ ∈ ℝ*)
43 rabidim2 38769 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} → 𝐵 < 𝑅)
4422, 43syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}) → 𝐵 < 𝑅)
4544adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 < 𝑅)
46 pnfge 11908 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ*𝑅 ≤ +∞)
4728, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝑅 ≤ +∞)
4830, 28, 42, 45, 47xrltletrd 11936 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 < +∞)
4930, 42, 48xrltned 39037 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ≠ +∞)
5030, 40, 49xrred 39045 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ∈ ℝ)
5127, 28, 50, 37, 45eliood 39131 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅))
5226, 51jca 554 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → (𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)))
53 rabid 3106 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ↔ (𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)))
5452, 53sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)})
5554ex 450 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)}))
561, 55ralrimi 2951 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)})
57 nfrab1 3111 . . . . 5 𝑥{𝑥𝐴𝐵 < 𝑅}
58 nfrab1 3111 . . . . 5 𝑥{𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}
5957, 58nfin 3798 . . . 4 𝑥({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})
60 nfrab1 3111 . . . 4 𝑥{𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)}
6159, 60dfss3f 3575 . . 3 (({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}) ⊆ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ↔ ∀𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)})
6256, 61sylibr 224 . 2 (𝜑 → ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}) ⊆ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)})
6321, 62eqssd 3600 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} = ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wral 2907  {crab 2911  cin 3554  wss 3555   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  +∞cpnf 10015  -∞cmnf 10016  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  (,)cioo 12117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-ioo 12121
This theorem is referenced by:  smfpimioompt  40300
  Copyright terms: Public domain W3C validator