Theorem pimiooltgt 42996

Description: The preimage of an open interval is the intersection of the preimage of an unbounded below open interval and an unbounded above open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimiooltgt.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimiooltgt.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ*)
pimiooltgt.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
pimiooltgt.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
pimiooltgt	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem pimiooltgt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimiooltgt.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		pimiooltgt.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ*)
3	2	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐿 ∈ ℝ*)
4	3	3adant3 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐿 ∈ ℝ*)
5		pimiooltgt.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
6	5	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℝ*)
7	6	3adant3 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
8		simp3 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅))
9		iooltub 41793	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐵 < 𝑅)
10	4, 7, 8, 9	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐵 < 𝑅)
11	10	3exp 1115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐵 < 𝑅)))
12	1, 11	ralrimi 3218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐵 < 𝑅))
13		ss2rab 4049	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐵 < 𝑅))
14	12, 13	sylibr 236	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅})
15		ioogtlb 41777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐿 < 𝐵)
16	4, 7, 8, 15	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐿 < 𝐵)
17	16	3exp 1115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐿 < 𝐵)))
18	1, 17	ralrimi 3218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐿 < 𝐵))
19		ss2rab 4049	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐿 < 𝐵))
20	18, 19	sylibr 236	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})
21	14, 20	ssind 4211	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}))
22		elinel1 4174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅})
23		ssrab2 4058	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ⊆ 𝐴
24	23	sseli 3965	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} → 𝑥 ∈ 𝐴)
25	22, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
26	25	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝑥 ∈ 𝐴)
27	26, 3	syldan 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐿 ∈ ℝ*)
28	26, 6	syldan 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝑅 ∈ ℝ*)
29		pimiooltgt.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
30	26, 29	syldan 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ∈ ℝ*)
31		mnfxr 10700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → -∞ ∈ ℝ*)
33	27	mnfled 41667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → -∞ ≤ 𝐿)
34		elinel2 4175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})
35		rabidim2 41375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵} → 𝐿 < 𝐵)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) → 𝐿 < 𝐵)
37	36	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐿 < 𝐵)
38	32, 27, 30, 33, 37	xrlelttrd 12556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → -∞ < 𝐵)
39	32, 30, 38	xrltned 41632	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → -∞ ≠ 𝐵)
40	39	necomd 3073	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ≠ -∞)
41		pnfxr 10697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → +∞ ∈ ℝ*)
43		rabidim2 41375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} → 𝐵 < 𝑅)
44	22, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) → 𝐵 < 𝑅)
45	44	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 < 𝑅)
46		pnfge 12528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → 𝑅 ≤ +∞)
47	28, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝑅 ≤ +∞)
48	30, 28, 42, 45, 47	xrltletrd 12557	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 < +∞)
49	30, 42, 48	xrltned 41632	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ≠ +∞)
50	30, 40, 49	xrred 41640	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ∈ ℝ)
51	27, 28, 50, 37, 45	eliood 41780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅))
52	26, 51	jca 514	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)))
53		rabid 3380	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)))
54	52, 53	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)})
55	54	ex 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)}))
56	1, 55	ralrimi 3218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)})
57		nfrab1 3386	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅}
58		nfrab1 3386	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}
59	57, 58	nfin 4195	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})
60		nfrab1 3386	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)}
61	59, 60	dfss3f 3961	. . 3 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ↔ ∀𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)})
62	56, 61	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)})
63	21, 62	eqssd 3986	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  {crab 3144   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938   class class class wbr 5068  (class class class)co 7158  +∞cpnf 10674  -∞cmnf 10675  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677   ≤ cle 10678  (,)cioo 12741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-ioo 12745

This theorem is referenced by:  smfpimioompt  43068