Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimltmnf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimltmnf2 41232
 Description: Given a real-valued function, the preimage of an open interval, unbounded below, with upper bound -∞, is the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimltmnf2.1 𝑥𝐹
pimltmnf2.2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
pimltmnf2 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < -∞} = ∅)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pimltmnf2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2793 . . . 4 𝑥𝐴
2 nfcv 2793 . . . 4 𝑦𝐴
3 nfv 1883 . . . 4 𝑦(𝐹𝑥) < -∞
4 pimltmnf2.1 . . . . . 6 𝑥𝐹
5 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑥𝑦
64, 5nffv 6236 . . . . 5 𝑥(𝐹𝑦)
7 nfcv 2793 . . . . 5 𝑥 <
8 nfcv 2793 . . . . 5 𝑥-∞
96, 7, 8nfbr 4732 . . . 4 𝑥(𝐹𝑦) < -∞
10 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
1110breq1d 4695 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) < -∞ ↔ (𝐹𝑦) < -∞))
121, 2, 3, 9, 11cbvrab 3229 . . 3 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < -∞} = {𝑦𝐴 ∣ (𝐹𝑦) < -∞}
1312a1i 11 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < -∞} = {𝑦𝐴 ∣ (𝐹𝑦) < -∞})
14 mnfxr 10134 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
1514a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
16 pimltmnf2.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
1716ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
1817rexrd 10127 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
1917mnfltd 11996 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → -∞ < (𝐹𝑦))
2015, 18, 19xrltled 39800 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → -∞ ≤ (𝐹𝑦))
2115, 18xrlenltd 10142 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → (-∞ ≤ (𝐹𝑦) ↔ ¬ (𝐹𝑦) < -∞))
2220, 21mpbid 222 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → ¬ (𝐹𝑦) < -∞)
2322ralrimiva 2995 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 ¬ (𝐹𝑦) < -∞)
24 rabeq0 3990 . . 3 ({𝑦𝐴 ∣ (𝐹𝑦) < -∞} = ∅ ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ (𝐹𝑦) < -∞)
2523, 24sylibr 224 . 2 (𝜑 → {𝑦𝐴 ∣ (𝐹𝑦) < -∞} = ∅)
2613, 25eqtrd 2685 1 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < -∞} = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Ⅎwnfc 2780  ∀wral 2941  {crab 2945  ∅c0 3948   class class class wbr 4685  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  ℝcr 9973  -∞cmnf 10110  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118 This theorem is referenced by:  smfpimltxr  41277
 Copyright terms: Public domain W3C validator