Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimrecltneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimrecltneg 40256
Description: The preimage of an unbounded below, open interval, with negative upper bound, for the reciprocal function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimrecltneg.x 𝑥𝜑
pimrecltneg.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
pimrecltneg.n ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
pimrecltneg.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
pimrecltneg.l (𝜑𝐶 < 0)
Assertion
Ref Expression
pimrecltneg (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)})

Proof of Theorem pimrecltneg
StepHypRef Expression
1 pimrecltneg.x . . 3 𝑥𝜑
2 rabidim1 38793 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥𝐴)
32adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥𝐴)
4 1red 10002 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
5 pimrecltneg.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 pimrecltneg.l . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 < 0)
75, 6ltned 10120 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ≠ 0)
84, 5, 7redivcld 10800 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
98rexrd 10036 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
109adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
11 0xr 10033 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
1211a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 0 ∈ ℝ*)
13 pimrecltneg.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
142, 13sylan2 491 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ∈ ℝ)
15 rabidim2 38788 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → (1 / 𝐵) < 𝐶)
1615adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
174adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 1 ∈ ℝ)
18 pimrecltneg.n . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
193, 18syldan 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ≠ 0)
2014, 19rereccld 10799 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
215adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℝ)
22 0red 9988 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 0 ∈ ℝ)
236adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐶 < 0)
2420, 21, 22, 16, 23lttrd 10145 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐵) < 0)
2514, 19reclt0 39096 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (𝐵 < 0 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
2624, 25mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 < 0)
2717, 14, 26, 21, 23ltdiv23neg 39099 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → ((1 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (1 / 𝐶) < 𝐵))
2816, 27mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
2910, 12, 14, 28, 26eliood 39149 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0))
303, 29jca 554 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)))
31 rabid 3106 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} ↔ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)))
3230, 31sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)})
3332ex 450 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
3431simplbi 476 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} → 𝑥𝐴)
3534adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝑥𝐴)
369adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
3711a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 0 ∈ ℝ*)
3831simprbi 480 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} → 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0))
3938adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0))
4036, 37, 39ioogtlbd 39206 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
414adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 1 ∈ ℝ)
425adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐶 ∈ ℝ)
436adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐶 < 0)
4435, 13syldan 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐵 ∈ ℝ)
4536, 37, 39iooltubd 39200 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐵 < 0)
4641, 42, 43, 44, 45ltdiv23neg 39099 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → ((1 / 𝐶) < 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) < 𝐶))
4740, 46mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
4835, 47jca 554 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
49 rabid 3106 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
5048, 49sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
5150ex 450 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}))
5233, 51impbid 202 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
531, 52alrimi 2080 . 2 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
54 nfrab1 3111 . . 3 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}
55 nfrab1 3111 . . 3 𝑥{𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}
5654, 55dfcleqf 38759 . 2 ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
5753, 56sylibr 224 1 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wal 1478   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wne 2790  {crab 2911   class class class wbr 4615  (class class class)co 6607  cr 9882  0cc0 9883  1c1 9884  *cxr 10020   < clt 10021   / cdiv 10631  (,)cioo 12120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-rp 11780  df-ioo 12124
This theorem is referenced by:  smfrec  40319
  Copyright terms: Public domain W3C validator