Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimrecltpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimrecltpos 41342
Description: The preimage of an unbounded below, open interval, with positive upper bound, for the reciprocal function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimrecltpos.x 𝑥𝜑
pimrecltpos.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
pimrecltpos.n ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
pimrecltpos.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
pimrecltpos (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))

Proof of Theorem pimrecltpos
StepHypRef Expression
1 pimrecltpos.x . . 3 𝑥𝜑
2 rabidim1 3220 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥𝐴)
32adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥𝐴)
4 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 < 0)
53, 4jca 555 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → (𝑥𝐴𝐵 < 0))
6 rabid 3218 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0} ↔ (𝑥𝐴𝐵 < 0))
75, 6sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0})
8 elun2 3889 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0} → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
109adantll 752 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
11 0red 10154 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 ∈ ℝ)
12 pimrecltpos.b . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
132, 12sylan2 492 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ∈ ℝ)
1413adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
152adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥𝐴)
16 pimrecltpos.n . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
1716necomd 2951 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≠ 𝐵)
1815, 17syldan 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 0 ≠ 𝐵)
1918adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 ≠ 𝐵)
20 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → ¬ 𝐵 < 0)
2111, 14, 19, 20lttri5d 39929 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐵)
2215adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥𝐴)
2313adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
24 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
2523, 24elrpd 11983 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
26 pimrecltpos.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
2726ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ+)
28 rabidim2 39700 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → (1 / 𝐵) < 𝐶)
2928ad2antlr 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
3025, 27, 29ltrec1d 12006 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
3122, 30jca 555 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐶) < 𝐵))
32 rabid 3218 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ↔ (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐶) < 𝐵))
3331, 32sylibr 224 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵})
34 elun1 3888 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ 0 < 𝐵) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
3621, 35syldan 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) ∧ ¬ 𝐵 < 0) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
3710, 36pm2.61dan 867 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
3837ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})))
3932simplbi 478 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → 𝑥𝐴)
4039adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥𝐴)
4126adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐶 ∈ ℝ+)
4240, 12syldan 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐵 ∈ ℝ)
43 0red 10154 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 ∈ ℝ)
4441rprecred 11997 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
4526rpred 11986 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4626rpgt0d 11989 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝐶)
4745, 46recgt0d 11071 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (1 / 𝐶))
4847adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 < (1 / 𝐶))
4932simprbi 483 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} → (1 / 𝐶) < 𝐵)
5049adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
5143, 44, 42, 48, 50lttrd 10311 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 0 < 𝐵)
5242, 51elrpd 11983 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝐵 ∈ ℝ+)
5341, 52, 50ltrec1d 12006 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
5440, 53jca 555 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
55 rabid 3218 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
5654, 55sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
5756adantlr 753 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
58 simpll 807 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝜑)
59 elunnel1 3862 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0})
6059adantll 752 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0})
616simplbi 478 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0} → 𝑥𝐴)
6261adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝑥𝐴)
6312, 16rereccld 10965 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
6462, 63syldan 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
65 0red 10154 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 0 ∈ ℝ)
6645adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝐶 ∈ ℝ)
6762, 12syldan 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝐵 ∈ ℝ)
686simprbi 483 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0} → 𝐵 < 0)
6968adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝐵 < 0)
7067, 69reclt0d 40022 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) < 0)
7146adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 0 < 𝐶)
7264, 65, 66, 70, 71lttrd 10311 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
7362, 72jca 555 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
7473, 55sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
7558, 60, 74syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
7657, 75pm2.61dan 867 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
7776ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}))
7838, 77impbid 202 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})))
791, 78alrimi 2193 . 2 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})))
80 nfrab1 3225 . . 3 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}
81 nfrab1 3225 . . . 4 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵}
82 nfrab1 3225 . . . 4 𝑥{𝑥𝐴𝐵 < 0}
8381, 82nfun 3877 . . 3 𝑥({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})
8480, 83dfcleqf 39671 . 2 ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0})))
8579, 84sylibr 224 1 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐶) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐴𝐵 < 0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  wal 1594   = wceq 1596  wnf 1821  wcel 2103  wne 2896  {crab 3018  cun 3678   class class class wbr 4760  (class class class)co 6765  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   < clt 10187   / cdiv 10797  +crp 11946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-po 5139  df-so 5140  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-rp 11947
This theorem is referenced by:  smfrec  41419
  Copyright terms: Public domain W3C validator