MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pj1eq 18159
Description: Any element of a direct subspace sum can be decomposed uniquely into projections onto the left and right factors. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a + = (+g𝐺)
pj1eu.s = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o 0 = (0g𝐺)
pj1eu.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
pj1eu.5 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
pj1f.p 𝑃 = (proj1𝐺)
pj1eq.5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑇 𝑈))
pj1eq.6 (𝜑𝐵𝑇)
pj1eq.7 (𝜑𝐶𝑈)
Assertion
Ref Expression
pj1eq (𝜑 → (𝑋 = (𝐵 + 𝐶) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝐵 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝐶)))

Proof of Theorem pj1eq
StepHypRef Expression
1 pj1eq.5 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑇 𝑈))
2 pj1eu.a . . . . 5 + = (+g𝐺)
3 pj1eu.s . . . . 5 = (LSSum‘𝐺)
4 pj1eu.o . . . . 5 0 = (0g𝐺)
5 pj1eu.z . . . . 5 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
6 pj1eu.2 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7 pj1eu.3 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8 pj1eu.4 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
9 pj1eu.5 . . . . 5 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
10 pj1f.p . . . . 5 𝑃 = (proj1𝐺)
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pj1id 18158 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑇 𝑈)) → 𝑋 = (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) + ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋)))
121, 11mpdan 703 . . 3 (𝜑𝑋 = (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) + ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋)))
1312eqeq1d 2653 . 2 (𝜑 → (𝑋 = (𝐵 + 𝐶) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) + ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋)) = (𝐵 + 𝐶)))
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pj1f 18156 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈):(𝑇 𝑈)⟶𝑇)
1514, 1ffvelrnd 6400 . . 3 (𝜑 → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) ∈ 𝑇)
16 pj1eq.6 . . 3 (𝜑𝐵𝑇)
172, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pj2f 18157 . . . 4 (𝜑 → (𝑈𝑃𝑇):(𝑇 𝑈)⟶𝑈)
1817, 1ffvelrnd 6400 . . 3 (𝜑 → ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) ∈ 𝑈)
19 pj1eq.7 . . 3 (𝜑𝐶𝑈)
202, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 16, 18, 19subgdisjb 18152 . 2 (𝜑 → ((((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) + ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋)) = (𝐵 + 𝐶) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝐵 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝐶)))
2113, 20bitrd 268 1 (𝜑 → (𝑋 = (𝐵 + 𝐶) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝐵 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  cin 3606  wss 3607  {csn 4210  cfv 5926  (class class class)co 6690  +gcplusg 15988  0gc0g 16147  SubGrpcsubg 17635  Cntzccntz 17794  LSSumclsm 18095  proj1cpj1 18096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-lsm 18097  df-pj1 18098
This theorem is referenced by:  pj1lid  18160  pj1rid  18161  pj1ghm  18162  lsmhash  18164  dpjidcl  18503  pj1lmhm  19148
  Copyright terms: Public domain W3C validator