MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pj1f 18050
Description: The left projection function maps a direct subspace sum onto the left factor. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a + = (+g𝐺)
pj1eu.s = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o 0 = (0g𝐺)
pj1eu.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
pj1eu.5 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
pj1f.p 𝑃 = (proj1𝐺)
Assertion
Ref Expression
pj1f (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈):(𝑇 𝑈)⟶𝑇)

Proof of Theorem pj1f
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pj1eu.a . . . . 5 + = (+g𝐺)
2 pj1eu.s . . . . 5 = (LSSum‘𝐺)
3 pj1eu.o . . . . 5 0 = (0g𝐺)
4 pj1eu.z . . . . 5 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
5 pj1eu.2 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 pj1eu.3 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7 pj1eu.4 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
8 pj1eu.5 . . . . 5 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8pj1eu 18049 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑇 𝑈)) → ∃!𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))
10 riotacl 6590 . . . 4 (∃!𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)) ∈ 𝑇)
119, 10syl 17 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑇 𝑈)) → (𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)) ∈ 𝑇)
12 eqid 2621 . . 3 (𝑧 ∈ (𝑇 𝑈) ↦ (𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))) = (𝑧 ∈ (𝑇 𝑈) ↦ (𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)))
1311, 12fmptd 6351 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑇 𝑈) ↦ (𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))):(𝑇 𝑈)⟶𝑇)
14 subgrcl 17539 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
155, 14syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
16 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
1716subgss 17535 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
185, 17syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
1916subgss 17535 . . . . 5 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
206, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
21 pj1f.p . . . . 5 𝑃 = (proj1𝐺)
2216, 1, 2, 21pj1fval 18047 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇𝑃𝑈) = (𝑧 ∈ (𝑇 𝑈) ↦ (𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))))
2315, 18, 20, 22syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) = (𝑧 ∈ (𝑇 𝑈) ↦ (𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))))
2423feq1d 5997 . 2 (𝜑 → ((𝑇𝑃𝑈):(𝑇 𝑈)⟶𝑇 ↔ (𝑧 ∈ (𝑇 𝑈) ↦ (𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))):(𝑇 𝑈)⟶𝑇))
2513, 24mpbird 247 1 (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈):(𝑇 𝑈)⟶𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2909  ∃!wreu 2910  cin 3559  wss 3560  {csn 4155  cmpt 4683  wf 5853  cfv 5857  crio 6575  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  0gc0g 16040  Grpcgrp 17362  SubGrpcsubg 17528  Cntzccntz 17688  LSSumclsm 17989  proj1cpj1 17990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-subg 17531  df-cntz 17690  df-lsm 17991  df-pj1 17992
This theorem is referenced by:  pj2f  18051  pj1id  18052  pj1eq  18053  pj1ghm  18056  pj1ghm2  18057  lsmhash  18058  dpjf  18396  pj1lmhm  19040  pj1lmhm2  19041  pjdm2  19995  pjf2  19998
  Copyright terms: Public domain W3C validator