Theorem pj1lid 18829

Description: The left projection function is the identity on the left subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pj1eu.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
pj1eu.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
pj1eu.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
pj1eu.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
pj1f.p	⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pj1lid	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem pj1lid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pj1eu.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2	1	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		subgrcl 18286	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝐺 ∈ Grp)
5		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6	5	subgss 18282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
7	1, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
8	7	sselda 3969	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
9		pj1eu.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
10		pj1eu.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
11	5, 9, 10	grprid 18136	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
12	4, 8, 11	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
13	12	eqcomd 2829	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑋 = (𝑋 + 0 ))
14		pj1eu.s	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
15		pj1eu.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
16		pj1eu.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17	16	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
18		pj1eu.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
19	18	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
20		pj1eu.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
21	20	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
22		pj1f.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)
23	14	lsmub1 18784	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
24	1, 16, 23	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
25	24	sselda 3969	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
26		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑋 ∈ 𝑇)
27	10	subg0cl 18289	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑈)
28	17, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 0 ∈ 𝑈)
29	9, 14, 10, 15, 2, 17, 19, 21, 22, 25, 26, 28	pj1eq 18828	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (𝑋 = (𝑋 + 0 ) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝑋 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 0 )))
30	13, 29	mpbid 234	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝑋 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 0 ))
31	30	simpld 497	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  {csn 4569  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  0_gc0g 16715  Grpcgrp 18105  SubGrpcsubg 18275  Cntzccntz 18447  LSSumclsm 18761  proj₁cpj1 18762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-subg 18278  df-cntz 18449  df-lsm 18763  df-pj1 18764

This theorem is referenced by:  dpjlid  19185  pjfo  20861