Theorem pj1rid 18827

Description: The left projection function is the zero operator on the right subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pj1eu.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
pj1eu.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
pj1eu.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
pj1eu.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
pj1f.p	⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pj1rid	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 0 )

Proof of Theorem pj1rid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pj1eu.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2	1	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		subgrcl 18283	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝐺 ∈ Grp)
5		pj1eu.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7	6	subgss 18279	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
8	5, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
9	8	sselda 3966	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
10		pj1eu.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11		pj1eu.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
12	6, 10, 11	grplid 18132	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
13	4, 9, 12	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
14	13	eqcomd 2827	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 = ( 0 + 𝑋))
15		pj1eu.s	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
16		pj1eu.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
17	5	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
18		pj1eu.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
19	18	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
20		pj1eu.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
21	20	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
22		pj1f.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)
23	15	lsmub2 18782	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
24	1, 5, 23	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
25	24	sselda 3966	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
26	11	subg0cl 18286	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑇)
27	2, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 0 ∈ 𝑇)
28		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
29	10, 15, 11, 16, 2, 17, 19, 21, 22, 25, 27, 28	pj1eq 18825	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑋 = ( 0 + 𝑋) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 0 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝑋)))
30	14, 29	mpbid 234	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 0 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝑋))
31	30	simpld 497	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935  {csn 4566  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  Basecbs 16482  +_gcplusg 16564  0_gc0g 16712  Grpcgrp 18102  SubGrpcsubg 18272  Cntzccntz 18444  LSSumclsm 18758  proj₁cpj1 18759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-0g 16714  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-subg 18275  df-cntz 18446  df-lsm 18760  df-pj1 18761

This theorem is referenced by:  dpjidcl  19179