Theorem pj2f 18826

Description: The right projection function maps a direct subspace sum onto the right factor. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pj1eu.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
pj1eu.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
pj1eu.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
pj1eu.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
pj1f.p	⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pj2f	⊢ (𝜑 → (𝑈𝑃𝑇):(𝑇 ⊕ 𝑈)⟶𝑈)

Proof of Theorem pj2f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pj1eu.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
2		pj1eu.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
3		pj1eu.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		pj1eu.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
5		pj1eu.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		pj1eu.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7		incom 4180	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∩ 𝑇) = (𝑇 ∩ 𝑈)
8		pj1eu.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
9	7, 8	syl5eq 2870	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑇) = { 0 })
10		pj1eu.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
11	4, 6, 5, 10	cntzrecd 18806	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑍‘𝑇))
12		pj1f.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 12	pj1f 18825	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝑃𝑇):(𝑈 ⊕ 𝑇)⟶𝑈)
14	2, 4	lsmcom2 18782	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑈 ⊕ 𝑇))
15	6, 5, 10, 14	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑈 ⊕ 𝑇))
16	15	feq2d 6502	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈𝑃𝑇):(𝑇 ⊕ 𝑈)⟶𝑈 ↔ (𝑈𝑃𝑇):(𝑈 ⊕ 𝑇)⟶𝑈))
17	13, 16	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝑃𝑇):(𝑇 ⊕ 𝑈)⟶𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  {csn 4569  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  +_gcplusg 16567  0_gc0g 16715  SubGrpcsubg 18275  Cntzccntz 18447  LSSumclsm 18761  proj₁cpj1 18762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-subg 18278  df-cntz 18449  df-lsm 18763  df-pj1 18764

This theorem is referenced by:  pj1eq  18828  pj1ghm  18831  lsmhash  18833  pj1lmhm  19874