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Theorem pj3si 28912
Description: Stronger projection triplet theorem. (Contributed by NM, 2-Dec-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjadj2co.1 𝐹C
pjadj2co.2 𝐺C
pjadj2co.3 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pj3si (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) → (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)))

Proof of Theorem pj3si
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjadj2co.1 . . . . . . . . . 10 𝐹C
2 pjadj2co.2 . . . . . . . . . 10 𝐺C
3 pjadj2co.3 . . . . . . . . . 10 𝐻C
41, 2, 3pj2cocli 28910 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐹)
54adantl 482 . . . . . . . 8 ((ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐹)
61pjfi 28409 . . . . . . . . . . . . 13 (proj𝐹): ℋ⟶ ℋ
72pjfi 28409 . . . . . . . . . . . . 13 (proj𝐺): ℋ⟶ ℋ
86, 7hocofi 28471 . . . . . . . . . . . 12 ((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)): ℋ⟶ ℋ
93pjfi 28409 . . . . . . . . . . . 12 (proj𝐻): ℋ⟶ ℋ
108, 9hocofni 28472 . . . . . . . . . . 11 (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) Fn ℋ
11 fnfvelrn 6312 . . . . . . . . . . 11 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) Fn ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)))
1210, 11mpan 705 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)))
13 ssel 3577 . . . . . . . . . 10 (ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺 → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺))
1412, 13syl5 34 . . . . . . . . 9 (ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺 → (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺))
1514imp 445 . . . . . . . 8 ((ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺)
165, 15elind 3776 . . . . . . 7 ((ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ (𝐹𝐺))
1716adantll 749 . . . . . 6 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ (𝐹𝐺))
183, 2, 1pj2cocli 28910 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ∈ 𝐻)
19 fveq1 6147 . . . . . . . . . 10 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥))
2019eleq1d 2683 . . . . . . . . 9 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻 ↔ ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ∈ 𝐻))
2118, 20syl5ibr 236 . . . . . . . 8 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) → (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻))
2221imp 445 . . . . . . 7 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻)
2322adantlr 750 . . . . . 6 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻)
2417, 23elind 3776 . . . . 5 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))
258, 9hococli 28470 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ)
26 hvsubcl 27720 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ) → (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
2725, 26mpdan 701 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
2827adantl 482 . . . . . 6 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
29 simpl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → 𝑥 ∈ ℋ)
3025adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ)
311, 2chincli 28165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹𝐺) ∈ C
3231, 3chincli 28165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) ∈ C
3332cheli 27935 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) → 𝑦 ∈ ℋ)
3433adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → 𝑦 ∈ ℋ)
3529, 30, 343jca 1240 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
3635adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
37 his2sub 27795 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
3919adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥))
4039oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦))
413, 2, 1pjadj2coi 28909 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)))
4233, 41sylan2 491 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → (((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)))
431, 2, 3pj3lem1 28911 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦) = 𝑦)
4443oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) → (𝑥 ·ih ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
4544adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → (𝑥 ·ih ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
4642, 45eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → (((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑦))
4740, 46sylan9eq 2675 . . . . . . . . . 10 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑦))
4847oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) − (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
4925, 33anim12i 589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
5049adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
51 hicl 27783 . . . . . . . . . . 11 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
5352subidd 10324 . . . . . . . . 9 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) − (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)) = 0)
5438, 48, 533eqtr2d 2661 . . . . . . . 8 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)
5554expr 642 . . . . . . 7 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) → ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0))
5655ralrimiv 2959 . . . . . 6 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ∀𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)
5732chshii 27930 . . . . . . 7 ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) ∈ S
58 shocel 27987 . . . . . . 7 (((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) ∈ S → ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) ↔ ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)))
5957, 58ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) ↔ ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0))
6028, 56, 59sylanbrc 697 . . . . 5 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)))
6132pjvi 28410 . . . . 5 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) ∧ (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)))) = ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))
6224, 60, 61syl2anc 692 . . . 4 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)))) = ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))
63 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
64 hvaddsub12 27741 . . . . . . . 8 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 + (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))))
6525, 63, 25, 64syl3anc 1323 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 + (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))))
66 hvsubid 27729 . . . . . . . . . 10 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) = 0)
6725, 66syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) = 0)
6867oveq2d 6620 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 + (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 + 0))
69 ax-hvaddid 27707 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 + 0) = 𝑥)
7068, 69eqtrd 2655 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 + (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = 𝑥)
7165, 70eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = 𝑥)
7271fveq2d 6152 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)))) = ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
7372adantl 482 . . . 4 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)))) = ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
7462, 73eqtr3d 2657 . . 3 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
7574ralrimiva 2960 . 2 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
768, 9hocofi 28471 . . 3 (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)): ℋ⟶ ℋ
7732pjfi 28409 . . 3 (proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)): ℋ⟶ ℋ
7876, 77hoeqi 28466 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥) ↔ (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)))
7975, 78sylib 208 1 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) → (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  cin 3554  wss 3555  ran crn 5075  ccom 5078   Fn wfn 5842  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880  cmin 10210  chil 27622   + cva 27623   ·ih csp 27625  0c0v 27627   cmv 27628   S csh 27631   C cch 27632  cort 27633  projcpjh 27640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cc 9201  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960  ax-hilex 27702  ax-hfvadd 27703  ax-hvcom 27704  ax-hvass 27705  ax-hv0cl 27706  ax-hvaddid 27707  ax-hfvmul 27708  ax-hvmulid 27709  ax-hvmulass 27710  ax-hvdistr1 27711  ax-hvdistr2 27712  ax-hvmul0 27713  ax-hfi 27782  ax-his1 27785  ax-his2 27786  ax-his3 27787  ax-his4 27788  ax-hcompl 27905
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-lm 20943  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cfil 22961  df-cau 22962  df-cmet 22963  df-grpo 27193  df-gid 27194  df-ginv 27195  df-gdiv 27196  df-ablo 27245  df-vc 27260  df-nv 27293  df-va 27296  df-ba 27297  df-sm 27298  df-0v 27299  df-vs 27300  df-nmcv 27301  df-ims 27302  df-dip 27402  df-ssp 27423  df-ph 27514  df-cbn 27565  df-hnorm 27671  df-hba 27672  df-hvsub 27674  df-hlim 27675  df-hcau 27676  df-sh 27910  df-ch 27924  df-oc 27955  df-ch0 27956  df-shs 28013  df-pjh 28100
This theorem is referenced by:  pj3i  28913
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