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Theorem pj3si 28912
 Description: Stronger projection triplet theorem. (Contributed by NM, 2-Dec-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
pj3si (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) → (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)))

Proof of Theorem pj3si
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjadj2co.1 . . . . . . . . . 10 𝐹C
2 pjadj2co.2 . . . . . . . . . 10 𝐺C
3 pjadj2co.3 . . . . . . . . . 10 𝐻C
41, 2, 3pj2cocli 28910 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐹)
54adantl 482 . . . . . . . 8 ((ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐹)
61pjfi 28409 . . . . . . . . . . . . 13 (proj𝐹): ℋ⟶ ℋ
72pjfi 28409 . . . . . . . . . . . . 13 (proj𝐺): ℋ⟶ ℋ
86, 7hocofi 28471 . . . . . . . . . . . 12 ((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)): ℋ⟶ ℋ
93pjfi 28409 . . . . . . . . . . . 12 (proj𝐻): ℋ⟶ ℋ
108, 9hocofni 28472 . . . . . . . . . . 11 (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) Fn ℋ
11 fnfvelrn 6312 . . . . . . . . . . 11 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) Fn ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)))
1210, 11mpan 705 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)))
13 ssel 3577 . . . . . . . . . 10 (ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺 → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺))
1412, 13syl5 34 . . . . . . . . 9 (ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺 → (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺))
1514imp 445 . . . . . . . 8 ((ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺)
165, 15elind 3776 . . . . . . 7 ((ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ (𝐹𝐺))
1716adantll 749 . . . . . 6 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ (𝐹𝐺))
183, 2, 1pj2cocli 28910 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ∈ 𝐻)
19 fveq1 6147 . . . . . . . . . 10 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥))
2019eleq1d 2683 . . . . . . . . 9 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻 ↔ ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ∈ 𝐻))
2118, 20syl5ibr 236 . . . . . . . 8 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) → (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻))
2221imp 445 . . . . . . 7 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻)
2322adantlr 750 . . . . . 6 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻)
2417, 23elind 3776 . . . . 5 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))
258, 9hococli 28470 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ)
26 hvsubcl 27720 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ) → (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
2725, 26mpdan 701 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
2827adantl 482 . . . . . 6 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
29 simpl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → 𝑥 ∈ ℋ)
3025adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ)
311, 2chincli 28165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹𝐺) ∈ C
3231, 3chincli 28165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) ∈ C
3332cheli 27935 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) → 𝑦 ∈ ℋ)
3433adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → 𝑦 ∈ ℋ)
3529, 30, 343jca 1240 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
3635adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
37 his2sub 27795 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
3919adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥))
4039oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦))
413, 2, 1pjadj2coi 28909 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)))
4233, 41sylan2 491 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → (((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)))
431, 2, 3pj3lem1 28911 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦) = 𝑦)
4443oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) → (𝑥 ·ih ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
4544adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → (𝑥 ·ih ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
4642, 45eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → (((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑦))
4740, 46sylan9eq 2675 . . . . . . . . . 10 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑦))
4847oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) − (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
4925, 33anim12i 589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
5049adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
51 hicl 27783 . . . . . . . . . . 11 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
5352subidd 10324 . . . . . . . . 9 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) − (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)) = 0)
5438, 48, 533eqtr2d 2661 . . . . . . . 8 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)
5554expr 642 . . . . . . 7 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) → ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0))
5655ralrimiv 2959 . . . . . 6 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ∀𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)
5732chshii 27930 . . . . . . 7 ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) ∈ S
58 shocel 27987 . . . . . . 7 (((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) ∈ S → ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) ↔ ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)))
5957, 58ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) ↔ ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0))
6028, 56, 59sylanbrc 697 . . . . 5 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)))
6132pjvi 28410 . . . . 5 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) ∧ (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)))) = ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))
6224, 60, 61syl2anc 692 . . . 4 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)))) = ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))
63 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
64 hvaddsub12 27741 . . . . . . . 8 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 + (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))))
6525, 63, 25, 64syl3anc 1323 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 + (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))))
66 hvsubid 27729 . . . . . . . . . 10 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) = 0)
6725, 66syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) = 0)
6867oveq2d 6620 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 + (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 + 0))
69 ax-hvaddid 27707 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 + 0) = 𝑥)
7068, 69eqtrd 2655 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 + (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = 𝑥)
7165, 70eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = 𝑥)
7271fveq2d 6152 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)))) = ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
7372adantl 482 . . . 4 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)))) = ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
7462, 73eqtr3d 2657 . . 3 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
7574ralrimiva 2960 . 2 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
768, 9hocofi 28471 . . 3 (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)): ℋ⟶ ℋ
7732pjfi 28409 . . 3 (proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)): ℋ⟶ ℋ
7876, 77hoeqi 28466 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥) ↔ (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)))
7975, 78sylib 208 1 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) → (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907   ∩ cin 3554   ⊆ wss 3555  ran crn 5075   ∘ ccom 5078   Fn wfn 5842  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  0cc0 9880   − cmin 10210   ℋchil 27622   +ℎ cva 27623   ·ih csp 27625  0ℎc0v 27627   −ℎ cmv 27628   Sℋ csh 27631   Cℋ cch 27632  ⊥cort 27633  projℎcpjh 27640 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cc 9201  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960  ax-hilex 27702  ax-hfvadd 27703  ax-hvcom 27704  ax-hvass 27705  ax-hv0cl 27706  ax-hvaddid 27707  ax-hfvmul 27708  ax-hvmulid 27709  ax-hvmulass 27710  ax-hvdistr1 27711  ax-hvdistr2 27712  ax-hvmul0 27713  ax-hfi 27782  ax-his1 27785  ax-his2 27786  ax-his3 27787  ax-his4 27788  ax-hcompl 27905 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-lm 20943  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cfil 22961  df-cau 22962  df-cmet 22963  df-grpo 27193  df-gid 27194  df-ginv 27195  df-gdiv 27196  df-ablo 27245  df-vc 27260  df-nv 27293  df-va 27296  df-ba 27297  df-sm 27298  df-0v 27299  df-vs 27300  df-nmcv 27301  df-ims 27302  df-dip 27402  df-ssp 27423  df-ph 27514  df-cbn 27565  df-hnorm 27671  df-hba 27672  df-hvsub 27674  df-hlim 27675  df-hcau 27676  df-sh 27910  df-ch 27924  df-oc 27955  df-ch0 27956  df-shs 28013  df-pjh 28100 This theorem is referenced by:  pj3i  28913
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