Theorem pjci 28905

Description: Two subspaces commute iff their projections commute. Lemma 4 of [Kalmbach] p. 67. (Contributed by NM, 26-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjclem1.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjclem1.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjci	⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)))

Proof of Theorem pjci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjclem1.1	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
2		pjclem1.2	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
3	1, 2	pjclem2 28901	. 2 ⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)))
4	1, 2	pjclem4 28904	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
5	1, 2	pjclem3 28902	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻))) = ((projℎ‘(⊥‘𝐻)) ∘ (projℎ‘𝐺)))
6	2	choccli 28012	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ
7	1, 6	pjclem4 28904	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻))) = ((projℎ‘(⊥‘𝐻)) ∘ (projℎ‘𝐺)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻))) = (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
8	5, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻))) = (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
9	4, 8	oveq12d 6622	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) +op ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻)))) = ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
10		df-iop 28454	. . . . . . . 8 ⊢ Iop = (projℎ‘ ℋ)
11	10	coeq2i 5242	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ Iop ) = ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘ ℋ))
12	1	pjfi 28409	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
13	12	hoid1i 28494	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ Iop ) = (projℎ‘𝐺)
14	11, 13	eqtr3i 2645	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘ ℋ)) = (projℎ‘𝐺)
15	2	pjtoi 28884	. . . . . . . 8 ⊢ ((projℎ‘𝐻) +op (projℎ‘(⊥‘𝐻))) = (projℎ‘ ℋ)
16	15	coeq2i 5242	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) +op (projℎ‘(⊥‘𝐻)))) = ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘ ℋ))
17	2	pjfi 28409	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
18	6	pjfi 28409	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘(⊥‘𝐻)): ℋ⟶ ℋ
19	1, 17, 18	pjsdii 28860	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) +op (projℎ‘(⊥‘𝐻)))) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) +op ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻))))
20	16, 19	eqtr3i 2645	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘ ℋ)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) +op ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻))))
21	14, 20	eqtr3i 2645	. . . . 5 ⊢ (projℎ‘𝐺) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) +op ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻))))
22		inss2 3812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ 𝐻
23	1	choccli 28012	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝐺) ∈ Cℋ
24	2, 23	chub2i 28175	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ⊆ ((⊥‘𝐺) ∨ℋ 𝐻)
25	22, 24	sstri 3592	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ ((⊥‘𝐺) ∨ℋ 𝐻)
26	1, 2	chdmm3i 28184	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) = ((⊥‘𝐺) ∨ℋ 𝐻)
27	25, 26	sseqtr4i 3617	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))
28	1, 2	chincli 28165	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ∈ Cℋ
29	1, 6	chincli 28165	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)) ∈ Cℋ
30	28, 29	pjscji 28875	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) → (projℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
31	27, 30	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (projℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
32	9, 21, 31	3eqtr4g 2680	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → (projℎ‘𝐺) = (projℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
33	28, 29	chjcli 28162	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) ∈ Cℋ
34	1, 33	pj11i 28416	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐺) = (projℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) ↔ 𝐺 = ((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
35	32, 34	sylib 208	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → 𝐺 = ((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
36	1, 2	cmbri 28295	. . 3 ⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 ↔ 𝐺 = ((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
37	35, 36	sylibr 224	. 2 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → 𝐺 𝐶ℋ 𝐻)
38	3, 37	impbii 199	1 ⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)))

Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ∩ cin 3554   ⊆ wss 3555   class class class wbr 4613   ∘ ccom 5078  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ℋchil 27622   C_ℋ cch 27632  ⊥cort 27633   ∨_ℋ chj 27636   𝐶_ℋ ccm 27639  proj_ℎcpjh 27640   +_op chos 27641   I_op chio 27647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cc 9201  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960  ax-hilex 27702  ax-hfvadd 27703  ax-hvcom 27704  ax-hvass 27705  ax-hv0cl 27706  ax-hvaddid 27707  ax-hfvmul 27708  ax-hvmulid 27709  ax-hvmulass 27710  ax-hvdistr1 27711  ax-hvdistr2 27712  ax-hvmul0 27713  ax-hfi 27782  ax-his1 27785  ax-his2 27786  ax-his3 27787  ax-his4 27788  ax-hcompl 27905

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-lm 20943  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cfil 22961  df-cau 22962  df-cmet 22963  df-grpo 27193  df-gid 27194  df-ginv 27195  df-gdiv 27196  df-ablo 27245  df-vc 27260  df-nv 27293  df-va 27296  df-ba 27297  df-sm 27298  df-0v 27299  df-vs 27300  df-nmcv 27301  df-ims 27302  df-dip 27402  df-ssp 27423  df-ph 27514  df-cbn 27565  df-hnorm 27671  df-hba 27672  df-hvsub 27674  df-hlim 27675  df-hcau 27676  df-sh 27910  df-ch 27924  df-oc 27955  df-ch0 27956  df-shs 28013  df-chj 28015  df-pjh 28100  df-cm 28288  df-hosum 28435  df-hodif 28437  df-h0op 28453  df-iop 28454

This theorem is referenced by: (None)