Theorem pjci 29289

Description: Two subspaces commute iff their projections commute. Lemma 4 of [Kalmbach] p. 67. (Contributed by NM, 26-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjclem1.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjclem1.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjci	⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)))

Proof of Theorem pjci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjclem1.1	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
2		pjclem1.2	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
3	1, 2	pjclem2 29285	. 2 ⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)))
4	1, 2	pjclem4 29288	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
5	1, 2	pjclem3 29286	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻))) = ((projℎ‘(⊥‘𝐻)) ∘ (projℎ‘𝐺)))
6	2	choccli 28396	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ
7	1, 6	pjclem4 29288	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻))) = ((projℎ‘(⊥‘𝐻)) ∘ (projℎ‘𝐺)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻))) = (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
8	5, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻))) = (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
9	4, 8	oveq12d 6783	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) +op ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻)))) = ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
10		df-iop 28838	. . . . . . . 8 ⊢ Iop = (projℎ‘ ℋ)
11	10	coeq2i 5390	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ Iop ) = ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘ ℋ))
12	1	pjfi 28793	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
13	12	hoid1i 28878	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ Iop ) = (projℎ‘𝐺)
14	11, 13	eqtr3i 2748	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘ ℋ)) = (projℎ‘𝐺)
15	2	pjtoi 29268	. . . . . . . 8 ⊢ ((projℎ‘𝐻) +op (projℎ‘(⊥‘𝐻))) = (projℎ‘ ℋ)
16	15	coeq2i 5390	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) +op (projℎ‘(⊥‘𝐻)))) = ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘ ℋ))
17	2	pjfi 28793	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
18	6	pjfi 28793	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘(⊥‘𝐻)): ℋ⟶ ℋ
19	1, 17, 18	pjsdii 29244	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ ((projℎ‘𝐻) +op (projℎ‘(⊥‘𝐻)))) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) +op ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻))))
20	16, 19	eqtr3i 2748	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘ ℋ)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) +op ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻))))
21	14, 20	eqtr3i 2748	. . . . 5 ⊢ (projℎ‘𝐺) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) +op ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘(⊥‘𝐻))))
22		inss2 3942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ 𝐻
23	1	choccli 28396	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝐺) ∈ Cℋ
24	2, 23	chub2i 28559	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ⊆ ((⊥‘𝐺) ∨ℋ 𝐻)
25	22, 24	sstri 3718	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ ((⊥‘𝐺) ∨ℋ 𝐻)
26	1, 2	chdmm3i 28568	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) = ((⊥‘𝐺) ∨ℋ 𝐻)
27	25, 26	sseqtr4i 3744	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))
28	1, 2	chincli 28549	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ∈ Cℋ
29	1, 6	chincli 28549	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)) ∈ Cℋ
30	28, 29	pjscji 29259	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) → (projℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
31	27, 30	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (projℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)) +op (projℎ‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
32	9, 21, 31	3eqtr4g 2783	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → (projℎ‘𝐺) = (projℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
33	28, 29	chjcli 28546	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) ∈ Cℋ
34	1, 33	pj11i 28800	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐺) = (projℎ‘((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) ↔ 𝐺 = ((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
35	32, 34	sylib 208	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → 𝐺 = ((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
36	1, 2	cmbri 28679	. . 3 ⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 ↔ 𝐺 = ((𝐺 ∩ 𝐻) ∨ℋ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
37	35, 36	sylibr 224	. 2 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → 𝐺 𝐶ℋ 𝐻)
38	3, 37	impbii 199	1 ⊢ (𝐺 𝐶ℋ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)))

Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1596   ∈ wcel 2103   ∩ cin 3679   ⊆ wss 3680   class class class wbr 4760   ∘ ccom 5222  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765   ℋchil 28006   C_ℋ cch 28016  ⊥cort 28017   ∨_ℋ chj 28020   𝐶_ℋ ccm 28023  proj_ℎcpjh 28024   +_op chos 28025   I_op chio 28031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cc 9370  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129  ax-hilex 28086  ax-hfvadd 28087  ax-hvcom 28088  ax-hvass 28089  ax-hv0cl 28090  ax-hvaddid 28091  ax-hfvmul 28092  ax-hvmulid 28093  ax-hvmulass 28094  ax-hvdistr1 28095  ax-hvdistr2 28096  ax-hvmul0 28097  ax-hfi 28166  ax-his1 28169  ax-his2 28170  ax-his3 28171  ax-his4 28172  ax-hcompl 28289

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-omul 7685  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-acn 8881  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-seq 12917  df-exp 12976  df-hash 13233  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-lm 21156  df-haus 21242  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cfil 23174  df-cau 23175  df-cmet 23176  df-grpo 27577  df-gid 27578  df-ginv 27579  df-gdiv 27580  df-ablo 27629  df-vc 27644  df-nv 27677  df-va 27680  df-ba 27681  df-sm 27682  df-0v 27683  df-vs 27684  df-nmcv 27685  df-ims 27686  df-dip 27786  df-ssp 27807  df-ph 27898  df-cbn 27949  df-hnorm 28055  df-hba 28056  df-hvsub 28058  df-hlim 28059  df-hcau 28060  df-sh 28294  df-ch 28308  df-oc 28339  df-ch0 28340  df-shs 28397  df-chj 28399  df-pjh 28484  df-cm 28672  df-hosum 28819  df-hodif 28821  df-h0op 28837  df-iop 28838

This theorem is referenced by: (None)