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Theorem pjclem1 29900
Description: Lemma for projection commutation theorem. (Contributed by NM, 16-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjclem1.1 𝐺C
pjclem1.2 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pjclem1 (𝐺 𝐶 𝐻 → ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj‘(𝐺𝐻)))

Proof of Theorem pjclem1
StepHypRef Expression
1 pjclem1.1 . . . . . 6 𝐺C
2 pjclem1.2 . . . . . 6 𝐻C
31, 2cmbri 29295 . . . . 5 (𝐺 𝐶 𝐻𝐺 = ((𝐺𝐻) ∨ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
4 fveq2 6664 . . . . 5 (𝐺 = ((𝐺𝐻) ∨ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) → (proj𝐺) = (proj‘((𝐺𝐻) ∨ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
53, 4sylbi 218 . . . 4 (𝐺 𝐶 𝐻 → (proj𝐺) = (proj‘((𝐺𝐻) ∨ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
6 inss2 4205 . . . . . . . 8 (𝐺𝐻) ⊆ 𝐻
71choccli 29012 . . . . . . . . . 10 (⊥‘𝐺) ∈ C
82, 7chub2i 29175 . . . . . . . . 9 𝐻 ⊆ ((⊥‘𝐺) ∨ 𝐻)
91, 2chdmm3i 29184 . . . . . . . . 9 (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) = ((⊥‘𝐺) ∨ 𝐻)
108, 9sseqtrri 4003 . . . . . . . 8 𝐻 ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))
116, 10sstri 3975 . . . . . . 7 (𝐺𝐻) ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))
121, 2chincli 29165 . . . . . . . 8 (𝐺𝐻) ∈ C
132choccli 29012 . . . . . . . . 9 (⊥‘𝐻) ∈ C
141, 13chincli 29165 . . . . . . . 8 (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)) ∈ C
1512, 14pjscji 29875 . . . . . . 7 ((𝐺𝐻) ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) → (proj‘((𝐺𝐻) ∨ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
1611, 15ax-mp 5 . . . . . 6 (proj‘((𝐺𝐻) ∨ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
1716eqeq2i 2834 . . . . 5 ((proj𝐺) = (proj‘((𝐺𝐻) ∨ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) ↔ (proj𝐺) = ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
18 coeq2 5723 . . . . . 6 ((proj𝐺) = ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) = ((proj𝐻) ∘ ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))))
1912pjfi 29409 . . . . . . . . . 10 (proj‘(𝐺𝐻)): ℋ⟶ ℋ
2014pjfi 29409 . . . . . . . . . 10 (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))): ℋ⟶ ℋ
212, 19, 20pjsdii 29860 . . . . . . . . 9 ((proj𝐻) ∘ ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) = (((proj𝐻) ∘ (proj‘(𝐺𝐻))) +op ((proj𝐻) ∘ (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))))
2212, 2pjss1coi 29868 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝐻) ⊆ 𝐻 ↔ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(𝐺𝐻))) = (proj‘(𝐺𝐻)))
236, 22mpbi 231 . . . . . . . . . 10 ((proj𝐻) ∘ (proj‘(𝐺𝐻))) = (proj‘(𝐺𝐻))
242, 14pjorthcoi 29874 . . . . . . . . . . 11 (𝐻 ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) → ((proj𝐻) ∘ (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0hop )
2510, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((proj𝐻) ∘ (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0hop
2623, 25oveq12i 7157 . . . . . . . . 9 (((proj𝐻) ∘ (proj‘(𝐺𝐻))) +op ((proj𝐻) ∘ (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) = ((proj‘(𝐺𝐻)) +op 0hop )
2719hoaddid1i 29491 . . . . . . . . 9 ((proj‘(𝐺𝐻)) +op 0hop ) = (proj‘(𝐺𝐻))
2821, 26, 273eqtri 2848 . . . . . . . 8 ((proj𝐻) ∘ ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) = (proj‘(𝐺𝐻))
2928eqeq2i 2834 . . . . . . 7 (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) = ((proj𝐻) ∘ ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) ↔ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) = (proj‘(𝐺𝐻)))
30 coeq2 5723 . . . . . . . 8 (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) = (proj‘(𝐺𝐻)) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))) = ((proj𝐺) ∘ (proj‘(𝐺𝐻))))
31 inss1 4204 . . . . . . . . 9 (𝐺𝐻) ⊆ 𝐺
3212, 1pjss1coi 29868 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝐻) ⊆ 𝐺 ↔ ((proj𝐺) ∘ (proj‘(𝐺𝐻))) = (proj‘(𝐺𝐻)))
3331, 32mpbi 231 . . . . . . . 8 ((proj𝐺) ∘ (proj‘(𝐺𝐻))) = (proj‘(𝐺𝐻))
3430, 33syl6eq 2872 . . . . . . 7 (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) = (proj‘(𝐺𝐻)) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))) = (proj‘(𝐺𝐻)))
3529, 34sylbi 218 . . . . . 6 (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) = ((proj𝐻) ∘ ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))) = (proj‘(𝐺𝐻)))
3618, 35syl 17 . . . . 5 ((proj𝐺) = ((proj‘(𝐺𝐻)) +op (proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))) = (proj‘(𝐺𝐻)))
3717, 36sylbi 218 . . . 4 ((proj𝐺) = (proj‘((𝐺𝐻) ∨ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))) = (proj‘(𝐺𝐻)))
385, 37syl 17 . . 3 (𝐺 𝐶 𝐻 → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))) = (proj‘(𝐺𝐻)))
391, 2cmcm3i 29299 . . . . 5 (𝐺 𝐶 𝐻 ↔ (⊥‘𝐺) 𝐶 𝐻)
407, 2cmbri 29295 . . . . 5 ((⊥‘𝐺) 𝐶 𝐻 ↔ (⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))
4139, 40bitri 276 . . . 4 (𝐺 𝐶 𝐻 ↔ (⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))
42 fveq2 6664 . . . . 5 ((⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → (proj‘(⊥‘𝐺)) = (proj‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
43 inss2 4205 . . . . . . . . 9 ((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ 𝐻
442, 1chub2i 29175 . . . . . . . . . 10 𝐻 ⊆ (𝐺 𝐻)
451, 2chdmm4i 29185 . . . . . . . . . 10 (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) = (𝐺 𝐻)
4644, 45sseqtrri 4003 . . . . . . . . 9 𝐻 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))
4743, 46sstri 3975 . . . . . . . 8 ((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))
487, 2chincli 29165 . . . . . . . . 9 ((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∈ C
497, 13chincli 29165 . . . . . . . . 9 ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)) ∈ C
5048, 49pjscji 29875 . . . . . . . 8 (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → (proj‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
5147, 50ax-mp 5 . . . . . . 7 (proj‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))
5251eqeq2i 2834 . . . . . 6 ((proj‘(⊥‘𝐺)) = (proj‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) ↔ (proj‘(⊥‘𝐺)) = ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
53 coeq2 5723 . . . . . . 7 ((proj‘(⊥‘𝐺)) = ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))) = ((proj𝐻) ∘ ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))))
5448pjfi 29409 . . . . . . . . . . 11 (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)): ℋ⟶ ℋ
5549pjfi 29409 . . . . . . . . . . 11 (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))): ℋ⟶ ℋ
562, 54, 55pjsdii 29860 . . . . . . . . . 10 ((proj𝐻) ∘ ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) = (((proj𝐻) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) +op ((proj𝐻) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))))
5748, 2pjss1coi 29868 . . . . . . . . . . . 12 (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ⊆ 𝐻 ↔ ((proj𝐻) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)))
5843, 57mpbi 231 . . . . . . . . . . 11 ((proj𝐻) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
592, 49pjorthcoi 29874 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → ((proj𝐻) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0hop )
6046, 59ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((proj𝐻) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) = 0hop
6158, 60oveq12i 7157 . . . . . . . . . 10 (((proj𝐻) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) +op ((proj𝐻) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) = ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op 0hop )
6254hoaddid1i 29491 . . . . . . . . . 10 ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op 0hop ) = (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
6356, 61, 623eqtri 2848 . . . . . . . . 9 ((proj𝐻) ∘ ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) = (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
6463eqeq2i 2834 . . . . . . . 8 (((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))) = ((proj𝐻) ∘ ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) ↔ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))) = (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)))
65 coeq2 5723 . . . . . . . . 9 (((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))) = (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺)))) = ((proj𝐺) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))))
661, 13chub1i 29174 . . . . . . . . . . 11 𝐺 ⊆ (𝐺 (⊥‘𝐻))
671, 2chdmm2i 29183 . . . . . . . . . . 11 (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) = (𝐺 (⊥‘𝐻))
6866, 67sseqtrri 4003 . . . . . . . . . 10 𝐺 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))
691, 48pjorthcoi 29874 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ⊆ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) → ((proj𝐺) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = 0hop )
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((proj𝐺) ∘ (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻))) = 0hop
7165, 70syl6eq 2872 . . . . . . . 8 (((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))) = (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
7264, 71sylbi 218 . . . . . . 7 (((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))) = ((proj𝐻) ∘ ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
7353, 72syl 17 . . . . . 6 ((proj‘(⊥‘𝐺)) = ((proj‘((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻)) +op (proj‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
7452, 73sylbi 218 . . . . 5 ((proj‘(⊥‘𝐺)) = (proj‘(((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
7542, 74syl 17 . . . 4 ((⊥‘𝐺) = (((⊥‘𝐺) ∩ 𝐻) ∨ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
7641, 75sylbi 218 . . 3 (𝐺 𝐶 𝐻 → ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺)))) = 0hop )
7738, 76oveq12d 7163 . 2 (𝐺 𝐶 𝐻 → (((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))) +op ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))))) = ((proj‘(𝐺𝐻)) +op 0hop ))
78 df-iop 29454 . . . . . . 7 Iop = (proj‘ ℋ)
7978coeq2i 5725 . . . . . 6 ((proj𝐻) ∘ Iop ) = ((proj𝐻) ∘ (proj‘ ℋ))
802pjfi 29409 . . . . . . 7 (proj𝐻): ℋ⟶ ℋ
8180hoid1i 29494 . . . . . 6 ((proj𝐻) ∘ Iop ) = (proj𝐻)
8279, 81eqtr3i 2846 . . . . 5 ((proj𝐻) ∘ (proj‘ ℋ)) = (proj𝐻)
831pjtoi 29884 . . . . . . 7 ((proj𝐺) +op (proj‘(⊥‘𝐺))) = (proj‘ ℋ)
8483coeq2i 5725 . . . . . 6 ((proj𝐻) ∘ ((proj𝐺) +op (proj‘(⊥‘𝐺)))) = ((proj𝐻) ∘ (proj‘ ℋ))
851pjfi 29409 . . . . . . 7 (proj𝐺): ℋ⟶ ℋ
867pjfi 29409 . . . . . . 7 (proj‘(⊥‘𝐺)): ℋ⟶ ℋ
872, 85, 86pjsdii 29860 . . . . . 6 ((proj𝐻) ∘ ((proj𝐺) +op (proj‘(⊥‘𝐺)))) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) +op ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))))
8884, 87eqtr3i 2846 . . . . 5 ((proj𝐻) ∘ (proj‘ ℋ)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) +op ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))))
8982, 88eqtr3i 2846 . . . 4 (proj𝐻) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) +op ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))))
9089coeq2i 5725 . . 3 ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐺) ∘ (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) +op ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺)))))
9180, 85hocofi 29471 . . . 4 ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)): ℋ⟶ ℋ
9280, 86hocofi 29471 . . . 4 ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))): ℋ⟶ ℋ
931, 91, 92pjsdii 29860 . . 3 ((proj𝐺) ∘ (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) +op ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))))) = (((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))) +op ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺)))))
9490, 93eqtr2i 2845 . 2 (((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))) +op ((proj𝐺) ∘ ((proj𝐻) ∘ (proj‘(⊥‘𝐺))))) = ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))
9577, 94, 273eqtr3g 2879 1 (𝐺 𝐶 𝐻 → ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj‘(𝐺𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  cin 3934  wss 3935   class class class wbr 5058  ccom 5553  cfv 6349  (class class class)co 7145  chba 28624   C cch 28634  cort 28635   chj 28638   𝐶 ccm 28641  projcpjh 28642   +op chos 28643   0hop ch0o 28648   Iop chio 28649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-inf2 9093  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606  ax-hilex 28704  ax-hfvadd 28705  ax-hvcom 28706  ax-hvass 28707  ax-hv0cl 28708  ax-hvaddid 28709  ax-hfvmul 28710  ax-hvmulid 28711  ax-hvmulass 28712  ax-hvdistr1 28713  ax-hvdistr2 28714  ax-hvmul0 28715  ax-hfi 28784  ax-his1 28787  ax-his2 28788  ax-his3 28789  ax-his4 28790  ax-hcompl 28907
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-omul 8098  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-acn 9360  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17891  df-mnd 17902  df-submnd 17947  df-mulg 18165  df-cntz 18387  df-cmn 18839  df-psmet 20467  df-xmet 20468  df-met 20469  df-bl 20470  df-mopn 20471  df-fbas 20472  df-fg 20473  df-cnfld 20476  df-top 21432  df-topon 21449  df-topsp 21471  df-bases 21484  df-cld 21557  df-ntr 21558  df-cls 21559  df-nei 21636  df-cn 21765  df-cnp 21766  df-lm 21767  df-haus 21853  df-tx 22100  df-hmeo 22293  df-fil 22384  df-fm 22476  df-flim 22477  df-flf 22478  df-xms 22859  df-ms 22860  df-tms 22861  df-cfil 23787  df-cau 23788  df-cmet 23789  df-grpo 28198  df-gid 28199  df-ginv 28200  df-gdiv 28201  df-ablo 28250  df-vc 28264  df-nv 28297  df-va 28300  df-ba 28301  df-sm 28302  df-0v 28303  df-vs 28304  df-nmcv 28305  df-ims 28306  df-dip 28406  df-ssp 28427  df-ph 28518  df-cbn 28568  df-hnorm 28673  df-hba 28674  df-hvsub 28676  df-hlim 28677  df-hcau 28678  df-sh 28912  df-ch 28926  df-oc 28957  df-ch0 28958  df-shs 29013  df-chj 29015  df-pjh 29100  df-cm 29288  df-hosum 29435  df-h0op 29453  df-iop 29454
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