Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjclem4a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjclem4a 29362
 Description: Lemma for projection commutation theorem. (Contributed by NM, 2-Dec-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjclem1.1 𝐺C
pjclem1.2 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pjclem4a (𝐴 ∈ (𝐺𝐻) → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem pjclem4a
StepHypRef Expression
1 elin 3935 . 2 (𝐴 ∈ (𝐺𝐻) ↔ (𝐴𝐺𝐴𝐻))
2 pjclem1.2 . . . . . 6 𝐻C
32cheli 28394 . . . . 5 (𝐴𝐻𝐴 ∈ ℋ)
43adantl 473 . . . 4 ((𝐴𝐺𝐴𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ)
5 pjclem1.1 . . . . 5 𝐺C
65, 2pjcoi 29322 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝐴) = ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝐴)))
74, 6syl 17 . . 3 ((𝐴𝐺𝐴𝐻) → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝐴) = ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝐴)))
8 pjid 28859 . . . . . 6 ((𝐻C𝐴𝐻) → ((proj𝐻)‘𝐴) = 𝐴)
92, 8mpan 708 . . . . 5 (𝐴𝐻 → ((proj𝐻)‘𝐴) = 𝐴)
10 eleq1 2823 . . . . . . 7 (((proj𝐻)‘𝐴) = 𝐴 → (((proj𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐺𝐴𝐺))
11 pjid 28859 . . . . . . . 8 ((𝐺C ∧ ((proj𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐺) → ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝐴)) = ((proj𝐻)‘𝐴))
125, 11mpan 708 . . . . . . 7 (((proj𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐺 → ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝐴)) = ((proj𝐻)‘𝐴))
1310, 12syl6bir 244 . . . . . 6 (((proj𝐻)‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴𝐺 → ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝐴)) = ((proj𝐻)‘𝐴)))
14 eqeq2 2767 . . . . . 6 (((proj𝐻)‘𝐴) = 𝐴 → (((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝐴)) = ((proj𝐻)‘𝐴) ↔ ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝐴)) = 𝐴))
1513, 14sylibd 229 . . . . 5 (((proj𝐻)‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴𝐺 → ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝐴)) = 𝐴))
169, 15syl 17 . . . 4 (𝐴𝐻 → (𝐴𝐺 → ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝐴)) = 𝐴))
1716impcom 445 . . 3 ((𝐴𝐺𝐴𝐻) → ((proj𝐺)‘((proj𝐻)‘𝐴)) = 𝐴)
187, 17eqtrd 2790 . 2 ((𝐴𝐺𝐴𝐻) → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝐴) = 𝐴)
191, 18sylbi 207 1 (𝐴 ∈ (𝐺𝐻) → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝐴) = 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1628   ∈ wcel 2135   ∩ cin 3710   ∘ ccom 5266  ‘cfv 6045   ℋchil 28081   Cℋ cch 28091  projℎcpjh 28099 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-inf2 8707  ax-cc 9445  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202  ax-addf 10203  ax-mulf 10204  ax-hilex 28161  ax-hfvadd 28162  ax-hvcom 28163  ax-hvass 28164  ax-hv0cl 28165  ax-hvaddid 28166  ax-hfvmul 28167  ax-hvmulid 28168  ax-hvmulass 28169  ax-hvdistr1 28170  ax-hvdistr2 28171  ax-hvmul0 28172  ax-hfi 28241  ax-his1 28244  ax-his2 28245  ax-his3 28246  ax-his4 28247  ax-hcompl 28364 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-fal 1634  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-iin 4671  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-se 5222  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-isom 6054  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-of 7058  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-supp 7460  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-2o 7726  df-oadd 7729  df-omul 7730  df-er 7907  df-map 8021  df-pm 8022  df-ixp 8071  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-fsupp 8437  df-fi 8478  df-sup 8509  df-inf 8510  df-oi 8576  df-card 8951  df-acn 8954  df-cda 9178  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-7 11272  df-8 11273  df-9 11274  df-n0 11481  df-z 11566  df-dec 11682  df-uz 11876  df-q 11978  df-rp 12022  df-xneg 12135  df-xadd 12136  df-xmul 12137  df-ioo 12368  df-ico 12370  df-icc 12371  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-fl 12783  df-seq 12992  df-exp 13051  df-hash 13308  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036  df-sqrt 14170  df-abs 14171  df-clim 14414  df-rlim 14415  df-sum 14612  df-struct 16057  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-sets 16062  df-ress 16063  df-plusg 16152  df-mulr 16153  df-starv 16154  df-sca 16155  df-vsca 16156  df-ip 16157  df-tset 16158  df-ple 16159  df-ds 16162  df-unif 16163  df-hom 16164  df-cco 16165  df-rest 16281  df-topn 16282  df-0g 16300  df-gsum 16301  df-topgen 16302  df-pt 16303  df-prds 16306  df-xrs 16360  df-qtop 16365  df-imas 16366  df-xps 16368  df-mre 16444  df-mrc 16445  df-acs 16447  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-submnd 17533  df-mulg 17738  df-cntz 17946  df-cmn 18391  df-psmet 19936  df-xmet 19937  df-met 19938  df-bl 19939  df-mopn 19940  df-fbas 19941  df-fg 19942  df-cnfld 19945  df-top 20897  df-topon 20914  df-topsp 20935  df-bases 20948  df-cld 21021  df-ntr 21022  df-cls 21023  df-nei 21100  df-cn 21229  df-cnp 21230  df-lm 21231  df-haus 21317  df-tx 21563  df-hmeo 21756  df-fil 21847  df-fm 21939  df-flim 21940  df-flf 21941  df-xms 22322  df-ms 22323  df-tms 22324  df-cfil 23249  df-cau 23250  df-cmet 23251  df-grpo 27652  df-gid 27653  df-ginv 27654  df-gdiv 27655  df-ablo 27704  df-vc 27719  df-nv 27752  df-va 27755  df-ba 27756  df-sm 27757  df-0v 27758  df-vs 27759  df-nmcv 27760  df-ims 27761  df-dip 27861  df-ssp 27882  df-ph 27973  df-cbn 28024  df-hnorm 28130  df-hba 28131  df-hvsub 28133  df-hlim 28134  df-hcau 28135  df-sh 28369  df-ch 28383  df-oc 28414  df-ch0 28415  df-shs 28472  df-pjh 28559 This theorem is referenced by:  pjclem4  29363  pj3lem1  29370
 Copyright terms: Public domain W3C validator