Theorem pjdifnormii 29454

Description: Theorem 4.5(v)<->(vi) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 13-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjidm.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
pjidm.2	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
pjsslem.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjdifnormii	⊢ (0 ≤ ((((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐴) ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴)))

Proof of Theorem pjdifnormii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjsslem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
2		pjidm.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
3	1, 2	pjhclii 29193	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℋ
4	3	normcli 28902	. . . 4 ⊢ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) ∈ ℝ
5	4	resqcli 13543	. . 3 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴))↑2) ∈ ℝ
6		pjidm.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
7	6, 2	pjhclii 29193	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ
8	7	normcli 28902	. . . 4 ⊢ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ∈ ℝ
9	8	resqcli 13543	. . 3 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) ∈ ℝ
10	5, 9	subge0i 11187	. 2 ⊢ (0 ≤ (((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴))↑2) − ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2)) ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴))↑2))
11		his2sub 28863	. . . . 5 ⊢ ((((projℎ‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐴) = ((((projℎ‘𝐺)‘𝐴) ·ih 𝐴) − (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ·ih 𝐴)))
12	3, 7, 2, 11	mp3an 1457	. . . 4 ⊢ ((((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐴) = ((((projℎ‘𝐺)‘𝐴) ·ih 𝐴) − (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ·ih 𝐴))
13	1, 2	pjinormii 29447	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘𝐺)‘𝐴) ·ih 𝐴) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴))↑2)
14	6, 2	pjinormii 29447	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ·ih 𝐴) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2)
15	13, 14	oveq12i 7162	. . . 4 ⊢ ((((projℎ‘𝐺)‘𝐴) ·ih 𝐴) − (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ·ih 𝐴)) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴))↑2) − ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2))
16	12, 15	eqtri 2844	. . 3 ⊢ ((((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐴) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴))↑2) − ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2))
17	16	breq2i 5067	. 2 ⊢ (0 ≤ ((((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐴) ↔ 0 ≤ (((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴))↑2) − ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2)))
18		normge0 28897	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
19	7, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))
20		normge0 28897	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴)))
21	3, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴))
22	8, 4	le2sqi 13547	. . 3 ⊢ ((0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴))) → ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴))↑2)))
23	19, 21, 22	mp2an 690	. 2 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴))↑2))
24	10, 17, 23	3bitr4i 305	1 ⊢ (0 ≤ ((((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐴) ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴)))

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5059  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  0cc0 10531   ≤ cle 10670   − cmin 10864  2c2 11686  ↑cexp 13423   ℋchba 28690   ·_ih csp 28693  norm_ℎcno 28694   −_ℎ cmv 28696   C_ℋ cch 28700  proj_ℎcpjh 28708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cc 9851  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611  ax-hilex 28770  ax-hfvadd 28771  ax-hvcom 28772  ax-hvass 28773  ax-hv0cl 28774  ax-hvaddid 28775  ax-hfvmul 28776  ax-hvmulid 28777  ax-hvmulass 28778  ax-hvdistr1 28779  ax-hvdistr2 28780  ax-hvmul0 28781  ax-hfi 28850  ax-his1 28853  ax-his2 28854  ax-his3 28855  ax-his4 28856  ax-hcompl 28973

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-acn 9365  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-lm 21831  df-haus 21917  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cfil 23852  df-cau 23853  df-cmet 23854  df-grpo 28264  df-gid 28265  df-ginv 28266  df-gdiv 28267  df-ablo 28316  df-vc 28330  df-nv 28363  df-va 28366  df-ba 28367  df-sm 28368  df-0v 28369  df-vs 28370  df-nmcv 28371  df-ims 28372  df-dip 28472  df-ssp 28493  df-ph 28584  df-cbn 28634  df-hnorm 28739  df-hba 28740  df-hvsub 28742  df-hlim 28743  df-hcau 28744  df-sh 28978  df-ch 28992  df-oc 29023  df-ch0 29024  df-shs 29079  df-pjh 29166

This theorem is referenced by:  pjdifnormi  29938