HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjdifnormii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjdifnormii 27760
Description: Theorem 4.5(v)<->(vi) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 13-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjidm.1 𝐻C
pjidm.2 𝐴 ∈ ℋ
pjsslem.1 𝐺C
Assertion
Ref Expression
pjdifnormii (0 ≤ ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐴) ↔ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝐴)))

Proof of Theorem pjdifnormii
StepHypRef Expression
1 pjsslem.1 . . . . . 6 𝐺C
2 pjidm.2 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℋ
31, 2pjhclii 27499 . . . . 5 ((proj𝐺)‘𝐴) ∈ ℋ
43normcli 27206 . . . 4 (norm‘((proj𝐺)‘𝐴)) ∈ ℝ
54resqcli 12769 . . 3 ((norm‘((proj𝐺)‘𝐴))↑2) ∈ ℝ
6 pjidm.1 . . . . . 6 𝐻C
76, 2pjhclii 27499 . . . . 5 ((proj𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ
87normcli 27206 . . . 4 (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ ℝ
98resqcli 12769 . . 3 ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) ∈ ℝ
105, 9subge0i 10433 . 2 (0 ≤ (((norm‘((proj𝐺)‘𝐴))↑2) − ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2)) ↔ ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) ≤ ((norm‘((proj𝐺)‘𝐴))↑2))
11 his2sub 27167 . . . . 5 ((((proj𝐺)‘𝐴) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐴) = ((((proj𝐺)‘𝐴) ·ih 𝐴) − (((proj𝐻)‘𝐴) ·ih 𝐴)))
123, 7, 2, 11mp3an 1415 . . . 4 ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐴) = ((((proj𝐺)‘𝐴) ·ih 𝐴) − (((proj𝐻)‘𝐴) ·ih 𝐴))
131, 2pjinormii 27753 . . . . 5 (((proj𝐺)‘𝐴) ·ih 𝐴) = ((norm‘((proj𝐺)‘𝐴))↑2)
146, 2pjinormii 27753 . . . . 5 (((proj𝐻)‘𝐴) ·ih 𝐴) = ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2)
1513, 14oveq12i 6539 . . . 4 ((((proj𝐺)‘𝐴) ·ih 𝐴) − (((proj𝐻)‘𝐴) ·ih 𝐴)) = (((norm‘((proj𝐺)‘𝐴))↑2) − ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2))
1612, 15eqtri 2631 . . 3 ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐴) = (((norm‘((proj𝐺)‘𝐴))↑2) − ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2))
1716breq2i 4585 . 2 (0 ≤ ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐴) ↔ 0 ≤ (((norm‘((proj𝐺)‘𝐴))↑2) − ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2)))
18 normge0 27201 . . . 4 (((proj𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)))
197, 18ax-mp 5 . . 3 0 ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴))
20 normge0 27201 . . . 4 (((proj𝐺)‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝐴)))
213, 20ax-mp 5 . . 3 0 ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝐴))
228, 4le2sqi 12773 . . 3 ((0 ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝐴))) → ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝐴)) ↔ ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) ≤ ((norm‘((proj𝐺)‘𝐴))↑2)))
2319, 21, 22mp2an 703 . 2 ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝐴)) ↔ ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) ≤ ((norm‘((proj𝐺)‘𝐴))↑2))
2410, 17, 233bitr4i 290 1 (0 ≤ ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐴) ↔ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9793  cle 9932  cmin 10118  2c2 10920  cexp 12680  chil 26994   ·ih csp 26997  normcno 26998   cmv 27000   C cch 27004  projcpjh 27012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cc 9118  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873  ax-hilex 27074  ax-hfvadd 27075  ax-hvcom 27076  ax-hvass 27077  ax-hv0cl 27078  ax-hvaddid 27079  ax-hfvmul 27080  ax-hvmulid 27081  ax-hvmulass 27082  ax-hvdistr1 27083  ax-hvdistr2 27084  ax-hvmul0 27085  ax-hfi 27154  ax-his1 27157  ax-his2 27158  ax-his3 27159  ax-his4 27160  ax-hcompl 27277
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-omul 7430  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-acn 8629  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ioo 12009  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-sum 14214  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-topgen 15876  df-pt 15877  df-prds 15880  df-xrs 15934  df-qtop 15939  df-imas 15940  df-xps 15942  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-submnd 17108  df-mulg 17313  df-cntz 17522  df-cmn 17967  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-fbas 19513  df-fg 19514  df-cnfld 19517  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cld 20581  df-ntr 20582  df-cls 20583  df-nei 20660  df-cn 20789  df-cnp 20790  df-lm 20791  df-haus 20877  df-tx 21123  df-hmeo 21316  df-fil 21408  df-fm 21500  df-flim 21501  df-flf 21502  df-xms 21883  df-ms 21884  df-tms 21885  df-cfil 22806  df-cau 22807  df-cmet 22808  df-grpo 26525  df-gid 26526  df-ginv 26527  df-gdiv 26528  df-ablo 26580  df-vc 26595  df-nv 26643  df-va 26646  df-ba 26647  df-sm 26648  df-0v 26649  df-vs 26650  df-nmcv 26651  df-ims 26652  df-dip 26769  df-ssp 26793  df-ph 26886  df-cbn 26937  df-hnorm 27043  df-hba 27044  df-hvsub 27046  df-hlim 27047  df-hcau 27048  df-sh 27282  df-ch 27296  df-oc 27327  df-ch0 27328  df-shs 27385  df-pjh 27472
This theorem is referenced by:  pjdifnormi  28244
  Copyright terms: Public domain W3C validator