MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjfo 19981
Description: A projection is a surjection onto the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjf.k 𝐾 = (proj‘𝑊)
pjf.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
pjfo ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾𝑇):𝑉onto𝑇)

Proof of Theorem pjfo
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjf.k . . 3 𝐾 = (proj‘𝑊)
2 pjf.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
31, 2pjf2 19980 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾𝑇):𝑉𝑇)
4 frn 6012 . . . 4 ((𝐾𝑇):𝑉𝑇 → ran (𝐾𝑇) ⊆ 𝑇)
53, 4syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ran (𝐾𝑇) ⊆ 𝑇)
6 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
7 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (proj1𝑊) = (proj1𝑊)
86, 7, 1pjval 19976 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ dom 𝐾 → (𝐾𝑇) = (𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
98ad2antlr 762 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → (𝐾𝑇) = (𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
109fveq1d 6152 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → ((𝐾𝑇)‘𝑥) = ((𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇))‘𝑥))
11 eqid 2621 . . . . . . . 8 (+g𝑊) = (+g𝑊)
12 eqid 2621 . . . . . . . 8 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
13 eqid 2621 . . . . . . . 8 (0g𝑊) = (0g𝑊)
14 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
15 phllmod 19897 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
1615adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
17 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
1817lsssssubg 18880 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
1916, 18syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
202, 17, 6, 12, 1pjdm2 19977 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ PreHil → (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = 𝑉)))
2120simprbda 652 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
2219, 21sseldd 3585 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
232, 17lssss 18859 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑇𝑉)
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇𝑉)
252, 6, 17ocvlss 19938 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝑉) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊))
2624, 25syldan 487 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊))
2719, 26sseldd 3585 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (SubGrp‘𝑊))
286, 17, 13ocvin 19940 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑇 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = {(0g𝑊)})
2921, 28syldan 487 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑇 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = {(0g𝑊)})
30 lmodabl 18834 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
3116, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ Abel)
3214, 31, 22, 27ablcntzd 18184 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
3311, 12, 13, 14, 22, 27, 29, 32, 7pj1lid 18038 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → ((𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇))‘𝑥) = 𝑥)
3410, 33eqtrd 2655 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → ((𝐾𝑇)‘𝑥) = 𝑥)
35 ffn 6004 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑇):𝑉𝑇 → (𝐾𝑇) Fn 𝑉)
363, 35syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾𝑇) Fn 𝑉)
3736adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → (𝐾𝑇) Fn 𝑉)
3824sselda 3584 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝑉)
39 fnfvelrn 6314 . . . . . . 7 (((𝐾𝑇) Fn 𝑉𝑥𝑉) → ((𝐾𝑇)‘𝑥) ∈ ran (𝐾𝑇))
4037, 38, 39syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → ((𝐾𝑇)‘𝑥) ∈ ran (𝐾𝑇))
4134, 40eqeltrrd 2699 . . . . 5 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ ran (𝐾𝑇))
4241ex 450 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑥𝑇𝑥 ∈ ran (𝐾𝑇)))
4342ssrdv 3590 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ⊆ ran (𝐾𝑇))
445, 43eqssd 3601 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ran (𝐾𝑇) = 𝑇)
45 dffo2 6078 . 2 ((𝐾𝑇):𝑉onto𝑇 ↔ ((𝐾𝑇):𝑉𝑇 ∧ ran (𝐾𝑇) = 𝑇))
463, 44, 45sylanbrc 697 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾𝑇):𝑉onto𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cin 3555  wss 3556  {csn 4150  dom cdm 5076  ran crn 5077   Fn wfn 5844  wf 5845  ontowfo 5847  cfv 5849  (class class class)co 6607  Basecbs 15784  +gcplusg 15865  0gc0g 16024  SubGrpcsubg 17512  Cntzccntz 17672  LSSumclsm 17973  proj1cpj1 17974  Abelcabl 18118  LModclmod 18787  LSubSpclss 18854  PreHilcphl 19891  ocvcocv 19926  projcpj 19966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-map 7807  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-ip 15883  df-0g 16026  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-submnd 17260  df-grp 17349  df-minusg 17350  df-sbg 17351  df-subg 17515  df-ghm 17582  df-cntz 17674  df-lsm 17975  df-pj1 17976  df-cmn 18119  df-abl 18120  df-mgp 18414  df-ur 18426  df-ring 18473  df-lmod 18789  df-lss 18855  df-lmhm 18944  df-lvec 19025  df-sra 19094  df-rgmod 19095  df-phl 19893  df-ocv 19929  df-pj 19969
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator