HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjimai Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjimai 28875
Description: The image of a projection. Lemma 5 in Daniel Lehmann, "A presentation of Quantum Logic based on an and then connective" http://www.arxiv.org/pdf/quant-ph/0701113 p. 20. (Contributed by NM, 20-Jan-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjima.1 𝐴S
pjima.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
pjimai ((proj𝐵) “ 𝐴) = ((𝐴 + (⊥‘𝐵)) ∩ 𝐵)

Proof of Theorem pjimai
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjima.2 . . . . . . . . 9 𝐵C
2 pjima.1 . . . . . . . . . 10 𝐴S
32sheli 27911 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐴𝑣 ∈ ℋ)
4 pjeq 28098 . . . . . . . . 9 ((𝐵C𝑣 ∈ ℋ) → (((proj𝐵)‘𝑣) = 𝑢 ↔ (𝑢𝐵 ∧ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 + 𝑤))))
51, 3, 4sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝑣𝐴 → (((proj𝐵)‘𝑣) = 𝑢 ↔ (𝑢𝐵 ∧ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 + 𝑤))))
6 ibar 525 . . . . . . . . 9 (𝑢𝐵 → (∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 + 𝑤) ↔ (𝑢𝐵 ∧ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 + 𝑤))))
76bicomd 213 . . . . . . . 8 (𝑢𝐵 → ((𝑢𝐵 ∧ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 + 𝑤)) ↔ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 + 𝑤)))
85, 7sylan9bbr 736 . . . . . . 7 ((𝑢𝐵𝑣𝐴) → (((proj𝐵)‘𝑣) = 𝑢 ↔ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 + 𝑤)))
91cheli 27929 . . . . . . . . . . 11 (𝑢𝐵𝑢 ∈ ℋ)
101choccli 28006 . . . . . . . . . . . 12 (⊥‘𝐵) ∈ C
1110cheli 27929 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ (⊥‘𝐵) → 𝑤 ∈ ℋ)
12 hvsubadd 27774 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑣 𝑤) = 𝑢 ↔ (𝑤 + 𝑢) = 𝑣))
13123comr 1270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑣 𝑤) = 𝑢 ↔ (𝑤 + 𝑢) = 𝑣))
14 ax-hvcom 27698 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑢 + 𝑤) = (𝑤 + 𝑢))
15143adant2 1078 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑢 + 𝑤) = (𝑤 + 𝑢))
1615eqeq1d 2628 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑢 + 𝑤) = 𝑣 ↔ (𝑤 + 𝑢) = 𝑣))
1713, 16bitr4d 271 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑣 𝑤) = 𝑢 ↔ (𝑢 + 𝑤) = 𝑣))
189, 3, 11, 17syl3an 1365 . . . . . . . . . 10 ((𝑢𝐵𝑣𝐴𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)) → ((𝑣 𝑤) = 𝑢 ↔ (𝑢 + 𝑤) = 𝑣))
19 eqcom 2633 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝑣 𝑤) ↔ (𝑣 𝑤) = 𝑢)
20 eqcom 2633 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (𝑢 + 𝑤) ↔ (𝑢 + 𝑤) = 𝑣)
2118, 19, 203bitr4g 303 . . . . . . . . 9 ((𝑢𝐵𝑣𝐴𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)) → (𝑢 = (𝑣 𝑤) ↔ 𝑣 = (𝑢 + 𝑤)))
22213expa 1262 . . . . . . . 8 (((𝑢𝐵𝑣𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)) → (𝑢 = (𝑣 𝑤) ↔ 𝑣 = (𝑢 + 𝑤)))
2322rexbidva 3047 . . . . . . 7 ((𝑢𝐵𝑣𝐴) → (∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑢 = (𝑣 𝑤) ↔ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 + 𝑤)))
248, 23bitr4d 271 . . . . . 6 ((𝑢𝐵𝑣𝐴) → (((proj𝐵)‘𝑣) = 𝑢 ↔ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑢 = (𝑣 𝑤)))
2524rexbidva 3047 . . . . 5 (𝑢𝐵 → (∃𝑣𝐴 ((proj𝐵)‘𝑣) = 𝑢 ↔ ∃𝑣𝐴𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑢 = (𝑣 𝑤)))
261pjfni 28400 . . . . . 6 (proj𝐵) Fn ℋ
272shssii 27910 . . . . . 6 𝐴 ⊆ ℋ
28 fvelimab 6211 . . . . . 6 (((proj𝐵) Fn ℋ ∧ 𝐴 ⊆ ℋ) → (𝑢 ∈ ((proj𝐵) “ 𝐴) ↔ ∃𝑣𝐴 ((proj𝐵)‘𝑣) = 𝑢))
2926, 27, 28mp2an 707 . . . . 5 (𝑢 ∈ ((proj𝐵) “ 𝐴) ↔ ∃𝑣𝐴 ((proj𝐵)‘𝑣) = 𝑢)
3010chshii 27924 . . . . . 6 (⊥‘𝐵) ∈ S
31 shsel3 28014 . . . . . 6 ((𝐴S ∧ (⊥‘𝐵) ∈ S ) → (𝑢 ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐵)) ↔ ∃𝑣𝐴𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑢 = (𝑣 𝑤)))
322, 30, 31mp2an 707 . . . . 5 (𝑢 ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐵)) ↔ ∃𝑣𝐴𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑢 = (𝑣 𝑤))
3325, 29, 323bitr4g 303 . . . 4 (𝑢𝐵 → (𝑢 ∈ ((proj𝐵) “ 𝐴) ↔ 𝑢 ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐵))))
3433pm5.32ri 669 . . 3 ((𝑢 ∈ ((proj𝐵) “ 𝐴) ∧ 𝑢𝐵) ↔ (𝑢 ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐵)) ∧ 𝑢𝐵))
35 imassrn 5440 . . . . . 6 ((proj𝐵) “ 𝐴) ⊆ ran (proj𝐵)
361pjrni 28401 . . . . . 6 ran (proj𝐵) = 𝐵
3735, 36sseqtri 3621 . . . . 5 ((proj𝐵) “ 𝐴) ⊆ 𝐵
3837sseli 3584 . . . 4 (𝑢 ∈ ((proj𝐵) “ 𝐴) → 𝑢𝐵)
3938pm4.71i 663 . . 3 (𝑢 ∈ ((proj𝐵) “ 𝐴) ↔ (𝑢 ∈ ((proj𝐵) “ 𝐴) ∧ 𝑢𝐵))
40 elin 3779 . . 3 (𝑢 ∈ ((𝐴 + (⊥‘𝐵)) ∩ 𝐵) ↔ (𝑢 ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐵)) ∧ 𝑢𝐵))
4134, 39, 403bitr4i 292 . 2 (𝑢 ∈ ((proj𝐵) “ 𝐴) ↔ 𝑢 ∈ ((𝐴 + (⊥‘𝐵)) ∩ 𝐵))
4241eqriv 2623 1 ((proj𝐵) “ 𝐴) = ((𝐴 + (⊥‘𝐵)) ∩ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wrex 2913  cin 3559  wss 3560  ran crn 5080  cima 5082   Fn wfn 5845  cfv 5850  (class class class)co 6605  chil 27616   + cva 27617   cmv 27622   S csh 27625   C cch 27626  cort 27627   + cph 27628  projcpjh 27634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cc 9202  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961  ax-hilex 27696  ax-hfvadd 27697  ax-hvcom 27698  ax-hvass 27699  ax-hv0cl 27700  ax-hvaddid 27701  ax-hfvmul 27702  ax-hvmulid 27703  ax-hvmulass 27704  ax-hvdistr1 27705  ax-hvdistr2 27706  ax-hvmul0 27707  ax-hfi 27776  ax-his1 27779  ax-his2 27780  ax-his3 27781  ax-his4 27782  ax-hcompl 27899
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-omul 7511  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-acn 8713  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12118  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-rlim 14149  df-sum 14346  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-hom 15882  df-cco 15883  df-rest 15999  df-topn 16000  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-topgen 16020  df-pt 16021  df-prds 16024  df-xrs 16078  df-qtop 16083  df-imas 16084  df-xps 16086  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-mulg 17457  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-fbas 19657  df-fg 19658  df-cnfld 19661  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-cld 20728  df-ntr 20729  df-cls 20730  df-nei 20807  df-cn 20936  df-cnp 20937  df-lm 20938  df-haus 21024  df-tx 21270  df-hmeo 21463  df-fil 21555  df-fm 21647  df-flim 21648  df-flf 21649  df-xms 22030  df-ms 22031  df-tms 22032  df-cfil 22956  df-cau 22957  df-cmet 22958  df-grpo 27187  df-gid 27188  df-ginv 27189  df-gdiv 27190  df-ablo 27239  df-vc 27254  df-nv 27287  df-va 27290  df-ba 27291  df-sm 27292  df-0v 27293  df-vs 27294  df-nmcv 27295  df-ims 27296  df-dip 27396  df-ssp 27417  df-ph 27508  df-cbn 27559  df-hnorm 27665  df-hba 27666  df-hvsub 27668  df-hlim 27669  df-hcau 27670  df-sh 27904  df-ch 27918  df-oc 27949  df-ch0 27950  df-shs 28007  df-pjh 28094
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator