HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjimai Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjimai 29336
Description: The image of a projection. Lemma 5 in Daniel Lehmann, "A presentation of Quantum Logic based on an and then connective" http://www.arxiv.org/pdf/quant-ph/0701113 p. 20. (Contributed by NM, 20-Jan-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjima.1 𝐴S
pjima.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
pjimai ((proj𝐵) “ 𝐴) = ((𝐴 + (⊥‘𝐵)) ∩ 𝐵)

Proof of Theorem pjimai
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjima.2 . . . . . . . . 9 𝐵C
2 pjima.1 . . . . . . . . . 10 𝐴S
32sheli 28372 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐴𝑣 ∈ ℋ)
4 pjeq 28559 . . . . . . . . 9 ((𝐵C𝑣 ∈ ℋ) → (((proj𝐵)‘𝑣) = 𝑢 ↔ (𝑢𝐵 ∧ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 + 𝑤))))
51, 3, 4sylancr 698 . . . . . . . 8 (𝑣𝐴 → (((proj𝐵)‘𝑣) = 𝑢 ↔ (𝑢𝐵 ∧ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 + 𝑤))))
6 ibar 526 . . . . . . . . 9 (𝑢𝐵 → (∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 + 𝑤) ↔ (𝑢𝐵 ∧ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 + 𝑤))))
76bicomd 213 . . . . . . . 8 (𝑢𝐵 → ((𝑢𝐵 ∧ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 + 𝑤)) ↔ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 + 𝑤)))
85, 7sylan9bbr 739 . . . . . . 7 ((𝑢𝐵𝑣𝐴) → (((proj𝐵)‘𝑣) = 𝑢 ↔ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 + 𝑤)))
91cheli 28390 . . . . . . . . . . 11 (𝑢𝐵𝑢 ∈ ℋ)
101choccli 28467 . . . . . . . . . . . 12 (⊥‘𝐵) ∈ C
1110cheli 28390 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ (⊥‘𝐵) → 𝑤 ∈ ℋ)
12 hvsubadd 28235 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑣 𝑤) = 𝑢 ↔ (𝑤 + 𝑢) = 𝑣))
13123comr 1119 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑣 𝑤) = 𝑢 ↔ (𝑤 + 𝑢) = 𝑣))
14 ax-hvcom 28159 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑢 + 𝑤) = (𝑤 + 𝑢))
15143adant2 1125 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑢 + 𝑤) = (𝑤 + 𝑢))
1615eqeq1d 2754 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑢 + 𝑤) = 𝑣 ↔ (𝑤 + 𝑢) = 𝑣))
1713, 16bitr4d 271 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑣 𝑤) = 𝑢 ↔ (𝑢 + 𝑤) = 𝑣))
189, 3, 11, 17syl3an 1163 . . . . . . . . . 10 ((𝑢𝐵𝑣𝐴𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)) → ((𝑣 𝑤) = 𝑢 ↔ (𝑢 + 𝑤) = 𝑣))
19 eqcom 2759 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝑣 𝑤) ↔ (𝑣 𝑤) = 𝑢)
20 eqcom 2759 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (𝑢 + 𝑤) ↔ (𝑢 + 𝑤) = 𝑣)
2118, 19, 203bitr4g 303 . . . . . . . . 9 ((𝑢𝐵𝑣𝐴𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)) → (𝑢 = (𝑣 𝑤) ↔ 𝑣 = (𝑢 + 𝑤)))
22213expa 1111 . . . . . . . 8 (((𝑢𝐵𝑣𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)) → (𝑢 = (𝑣 𝑤) ↔ 𝑣 = (𝑢 + 𝑤)))
2322rexbidva 3179 . . . . . . 7 ((𝑢𝐵𝑣𝐴) → (∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑢 = (𝑣 𝑤) ↔ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 + 𝑤)))
248, 23bitr4d 271 . . . . . 6 ((𝑢𝐵𝑣𝐴) → (((proj𝐵)‘𝑣) = 𝑢 ↔ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑢 = (𝑣 𝑤)))
2524rexbidva 3179 . . . . 5 (𝑢𝐵 → (∃𝑣𝐴 ((proj𝐵)‘𝑣) = 𝑢 ↔ ∃𝑣𝐴𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑢 = (𝑣 𝑤)))
261pjfni 28861 . . . . . 6 (proj𝐵) Fn ℋ
272shssii 28371 . . . . . 6 𝐴 ⊆ ℋ
28 fvelimab 6407 . . . . . 6 (((proj𝐵) Fn ℋ ∧ 𝐴 ⊆ ℋ) → (𝑢 ∈ ((proj𝐵) “ 𝐴) ↔ ∃𝑣𝐴 ((proj𝐵)‘𝑣) = 𝑢))
2926, 27, 28mp2an 710 . . . . 5 (𝑢 ∈ ((proj𝐵) “ 𝐴) ↔ ∃𝑣𝐴 ((proj𝐵)‘𝑣) = 𝑢)
3010chshii 28385 . . . . . 6 (⊥‘𝐵) ∈ S
31 shsel3 28475 . . . . . 6 ((𝐴S ∧ (⊥‘𝐵) ∈ S ) → (𝑢 ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐵)) ↔ ∃𝑣𝐴𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑢 = (𝑣 𝑤)))
322, 30, 31mp2an 710 . . . . 5 (𝑢 ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐵)) ↔ ∃𝑣𝐴𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑢 = (𝑣 𝑤))
3325, 29, 323bitr4g 303 . . . 4 (𝑢𝐵 → (𝑢 ∈ ((proj𝐵) “ 𝐴) ↔ 𝑢 ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐵))))
3433pm5.32ri 673 . . 3 ((𝑢 ∈ ((proj𝐵) “ 𝐴) ∧ 𝑢𝐵) ↔ (𝑢 ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐵)) ∧ 𝑢𝐵))
35 imassrn 5627 . . . . . 6 ((proj𝐵) “ 𝐴) ⊆ ran (proj𝐵)
361pjrni 28862 . . . . . 6 ran (proj𝐵) = 𝐵
3735, 36sseqtri 3770 . . . . 5 ((proj𝐵) “ 𝐴) ⊆ 𝐵
3837sseli 3732 . . . 4 (𝑢 ∈ ((proj𝐵) “ 𝐴) → 𝑢𝐵)
3938pm4.71i 667 . . 3 (𝑢 ∈ ((proj𝐵) “ 𝐴) ↔ (𝑢 ∈ ((proj𝐵) “ 𝐴) ∧ 𝑢𝐵))
40 elin 3931 . . 3 (𝑢 ∈ ((𝐴 + (⊥‘𝐵)) ∩ 𝐵) ↔ (𝑢 ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐵)) ∧ 𝑢𝐵))
4134, 39, 403bitr4i 292 . 2 (𝑢 ∈ ((proj𝐵) “ 𝐴) ↔ 𝑢 ∈ ((𝐴 + (⊥‘𝐵)) ∩ 𝐵))
4241eqriv 2749 1 ((proj𝐵) “ 𝐴) = ((𝐴 + (⊥‘𝐵)) ∩ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wrex 3043  cin 3706  wss 3707  ran crn 5259  cima 5261   Fn wfn 6036  cfv 6041  (class class class)co 6805  chil 28077   + cva 28078   cmv 28083   S csh 28086   C cch 28087  cort 28088   + cph 28089  projcpjh 28095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cc 9441  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200  ax-hilex 28157  ax-hfvadd 28158  ax-hvcom 28159  ax-hvass 28160  ax-hv0cl 28161  ax-hvaddid 28162  ax-hfvmul 28163  ax-hvmulid 28164  ax-hvmulass 28165  ax-hvdistr1 28166  ax-hvdistr2 28167  ax-hvmul0 28168  ax-hfi 28237  ax-his1 28240  ax-his2 28241  ax-his3 28242  ax-his4 28243  ax-hcompl 28360
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-omul 7726  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-acn 8950  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-mulg 17734  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019  df-nei 21096  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-lm 21227  df-haus 21313  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-fil 21843  df-fm 21935  df-flim 21936  df-flf 21937  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320  df-cfil 23245  df-cau 23246  df-cmet 23247  df-grpo 27648  df-gid 27649  df-ginv 27650  df-gdiv 27651  df-ablo 27700  df-vc 27715  df-nv 27748  df-va 27751  df-ba 27752  df-sm 27753  df-0v 27754  df-vs 27755  df-nmcv 27756  df-ims 27757  df-dip 27857  df-ssp 27878  df-ph 27969  df-cbn 28020  df-hnorm 28126  df-hba 28127  df-hvsub 28129  df-hlim 28130  df-hcau 28131  df-sh 28365  df-ch 28379  df-oc 28410  df-ch0 28411  df-shs 28468  df-pjh 28555
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator