Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjinvari Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjinvari 28938
 Description: A closed subspace 𝐻 with projection 𝑇 is invariant under an operator 𝑆 iff 𝑆𝑇 = 𝑇𝑆𝑇. Theorem 27.1 of [Halmos] p. 45. (Contributed by NM, 24-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjinvar.1 𝑆: ℋ⟶ ℋ
pjinvar.2 𝐻C
pjinvar.3 𝑇 = (proj𝐻)
Assertion
Ref Expression
pjinvari ((𝑆𝑇): ℋ⟶𝐻 ↔ (𝑆𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆𝑇)))

Proof of Theorem pjinvari
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjinvar.3 . . . . . . 7 𝑇 = (proj𝐻)
21fveq1i 6159 . . . . . 6 (𝑇‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) = ((proj𝐻)‘((𝑆𝑇)‘𝑥))
3 pjinvar.2 . . . . . . 7 𝐻C
4 ffvelrn 6323 . . . . . . 7 (((𝑆𝑇): ℋ⟶𝐻𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆𝑇)‘𝑥) ∈ 𝐻)
5 pjid 28442 . . . . . . 7 ((𝐻C ∧ ((𝑆𝑇)‘𝑥) ∈ 𝐻) → ((proj𝐻)‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) = ((𝑆𝑇)‘𝑥))
63, 4, 5sylancr 694 . . . . . 6 (((𝑆𝑇): ℋ⟶𝐻𝑥 ∈ ℋ) → ((proj𝐻)‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) = ((𝑆𝑇)‘𝑥))
72, 6syl5req 2668 . . . . 5 (((𝑆𝑇): ℋ⟶𝐻𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘((𝑆𝑇)‘𝑥)))
8 fvco3 6242 . . . . 5 (((𝑆𝑇): ℋ⟶𝐻𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ (𝑆𝑇))‘𝑥) = (𝑇‘((𝑆𝑇)‘𝑥)))
97, 8eqtr4d 2658 . . . 4 (((𝑆𝑇): ℋ⟶𝐻𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆𝑇)‘𝑥) = ((𝑇 ∘ (𝑆𝑇))‘𝑥))
109ralrimiva 2962 . . 3 ((𝑆𝑇): ℋ⟶𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑇)‘𝑥) = ((𝑇 ∘ (𝑆𝑇))‘𝑥))
11 pjinvar.1 . . . . 5 𝑆: ℋ⟶ ℋ
123pjfoi 28450 . . . . . . . 8 (proj𝐻): ℋ–onto𝐻
13 fof 6082 . . . . . . . 8 ((proj𝐻): ℋ–onto𝐻 → (proj𝐻): ℋ⟶𝐻)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 (proj𝐻): ℋ⟶𝐻
151feq1i 6003 . . . . . . 7 (𝑇: ℋ⟶𝐻 ↔ (proj𝐻): ℋ⟶𝐻)
1614, 15mpbir 221 . . . . . 6 𝑇: ℋ⟶𝐻
173chssii 27976 . . . . . 6 𝐻 ⊆ ℋ
18 fss 6023 . . . . . 6 ((𝑇: ℋ⟶𝐻𝐻 ⊆ ℋ) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
1916, 17, 18mp2an 707 . . . . 5 𝑇: ℋ⟶ ℋ
2011, 19hocofni 28514 . . . 4 (𝑆𝑇) Fn ℋ
2111, 19hocofi 28513 . . . . 5 (𝑆𝑇): ℋ⟶ ℋ
2219, 21hocofni 28514 . . . 4 (𝑇 ∘ (𝑆𝑇)) Fn ℋ
23 eqfnfv 6277 . . . 4 (((𝑆𝑇) Fn ℋ ∧ (𝑇 ∘ (𝑆𝑇)) Fn ℋ) → ((𝑆𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑇)‘𝑥) = ((𝑇 ∘ (𝑆𝑇))‘𝑥)))
2420, 22, 23mp2an 707 . . 3 ((𝑆𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑇)‘𝑥) = ((𝑇 ∘ (𝑆𝑇))‘𝑥))
2510, 24sylibr 224 . 2 ((𝑆𝑇): ℋ⟶𝐻 → (𝑆𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆𝑇)))
26 fco 6025 . . . 4 ((𝑇: ℋ⟶𝐻 ∧ (𝑆𝑇): ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ (𝑆𝑇)): ℋ⟶𝐻)
2716, 21, 26mp2an 707 . . 3 (𝑇 ∘ (𝑆𝑇)): ℋ⟶𝐻
28 feq1 5993 . . 3 ((𝑆𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆𝑇)) → ((𝑆𝑇): ℋ⟶𝐻 ↔ (𝑇 ∘ (𝑆𝑇)): ℋ⟶𝐻))
2927, 28mpbiri 248 . 2 ((𝑆𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆𝑇)) → (𝑆𝑇): ℋ⟶𝐻)
3025, 29impbii 199 1 ((𝑆𝑇): ℋ⟶𝐻 ↔ (𝑆𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆𝑇)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2908   ⊆ wss 3560   ∘ ccom 5088   Fn wfn 5852  ⟶wf 5853  –onto→wfo 5855  ‘cfv 5857   ℋchil 27664   Cℋ cch 27674  projℎcpjh 27682 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cc 9217  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976  ax-hilex 27744  ax-hfvadd 27745  ax-hvcom 27746  ax-hvass 27747  ax-hv0cl 27748  ax-hvaddid 27749  ax-hfvmul 27750  ax-hvmulid 27751  ax-hvmulass 27752  ax-hvdistr1 27753  ax-hvdistr2 27754  ax-hvmul0 27755  ax-hfi 27824  ax-his1 27827  ax-his2 27828  ax-his3 27829  ax-his4 27830  ax-hcompl 27947 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-omul 7525  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-acn 8728  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-nei 20842  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-lm 20973  df-haus 21059  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-cfil 22993  df-cau 22994  df-cmet 22995  df-grpo 27235  df-gid 27236  df-ginv 27237  df-gdiv 27238  df-ablo 27287  df-vc 27302  df-nv 27335  df-va 27338  df-ba 27339  df-sm 27340  df-0v 27341  df-vs 27342  df-nmcv 27343  df-ims 27344  df-dip 27444  df-ssp 27465  df-ph 27556  df-cbn 27607  df-hnorm 27713  df-hba 27714  df-hvsub 27716  df-hlim 27717  df-hcau 27718  df-sh 27952  df-ch 27966  df-oc 27997  df-ch0 27998  df-shs 28055  df-pjh 28142 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator