Theorem pjjsi 28860

Description: A sufficient condition for subspace join to be equal to subspace sum. (Contributed by NM, 29-May-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjjs.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjjs.2	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
pjjsi	⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → (𝐺 ∨ℋ 𝐻) = (𝐺 +ℋ 𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻

Proof of Theorem pjjsi

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤))
2	1	eleq1d 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 ↔ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻))
3	2	rspcv 3437	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) → (∀𝑥 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻))
4		pjjs.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
5	4	chshii 28385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
6		pjjs.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
7	5, 6	shjcli 28535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) ∈ Cℋ
8	7	cheli 28390	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) → 𝑤 ∈ ℋ)
9	4	pjcli 28577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺)
10	9	anim1i 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻))
11		axpjpj 28580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑤 = (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤)))
12	4, 11	mpan 708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → 𝑤 = (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤)))
13	12	adantr 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → 𝑤 = (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤)))
14	10, 13	jca 555	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → ((((projℎ‘𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) ∧ 𝑤 = (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤))))
15	8, 14	sylan 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → ((((projℎ‘𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) ∧ 𝑤 = (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤))))
16		rspceov 6847	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((projℎ‘𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻 ∧ 𝑤 = (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤))) → ∃𝑦 ∈ 𝐺 ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑤 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
17	16	3expa 1111	. . . . . . . 8 ⊢ (((((projℎ‘𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) ∧ 𝑤 = (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤))) → ∃𝑦 ∈ 𝐺 ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑤 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
18	15, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → ∃𝑦 ∈ 𝐺 ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑤 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
19	5, 6	shseli 28476	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐺 +ℋ 𝐻) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐺 ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑤 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
20	18, 19	sylibr 224	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → 𝑤 ∈ (𝐺 +ℋ 𝐻))
21	20	ex 449	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) → (((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻 → 𝑤 ∈ (𝐺 +ℋ 𝐻)))
22	3, 21	syldc 48	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → (𝑤 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) → 𝑤 ∈ (𝐺 +ℋ 𝐻)))
23	22	ssrdv 3742	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → (𝐺 ∨ℋ 𝐻) ⊆ (𝐺 +ℋ 𝐻))
24	5, 6	shsleji 28530	. . 3 ⊢ (𝐺 +ℋ 𝐻) ⊆ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)
25	23, 24	jctir 562	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → ((𝐺 ∨ℋ 𝐻) ⊆ (𝐺 +ℋ 𝐻) ∧ (𝐺 +ℋ 𝐻) ⊆ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)))
26		eqss 3751	. 2 ⊢ ((𝐺 ∨ℋ 𝐻) = (𝐺 +ℋ 𝐻) ↔ ((𝐺 ∨ℋ 𝐻) ⊆ (𝐺 +ℋ 𝐻) ∧ (𝐺 +ℋ 𝐻) ⊆ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)))
27	25, 26	sylibr 224	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → (𝐺 ∨ℋ 𝐻) = (𝐺 +ℋ 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  ∀wral 3042  ∃wrex 3043   ⊆ wss 3707  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805   ℋchil 28077   +_ℎ cva 28078   S_ℋ csh 28086   C_ℋ cch 28087  ⊥cort 28088   +_ℋ cph 28089   ∨_ℋ chj 28091  proj_ℎcpjh 28095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cc 9441  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200  ax-hilex 28157  ax-hfvadd 28158  ax-hvcom 28159  ax-hvass 28160  ax-hv0cl 28161  ax-hvaddid 28162  ax-hfvmul 28163  ax-hvmulid 28164  ax-hvmulass 28165  ax-hvdistr1 28166  ax-hvdistr2 28167  ax-hvmul0 28168  ax-hfi 28237  ax-his1 28240  ax-his2 28241  ax-his3 28242  ax-his4 28243  ax-hcompl 28360

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-omul 7726  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-acn 8950  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-mulg 17734  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019  df-nei 21096  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-lm 21227  df-haus 21313  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-fil 21843  df-fm 21935  df-flim 21936  df-flf 21937  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320  df-cfil 23245  df-cau 23246  df-cmet 23247  df-grpo 27648  df-gid 27649  df-ginv 27650  df-gdiv 27651  df-ablo 27700  df-vc 27715  df-nv 27748  df-va 27751  df-ba 27752  df-sm 27753  df-0v 27754  df-vs 27755  df-nmcv 27756  df-ims 27757  df-dip 27857  df-ssp 27878  df-ph 27969  df-cbn 28020  df-hnorm 28126  df-hba 28127  df-hvsub 28129  df-hlim 28130  df-hcau 28131  df-sh 28365  df-ch 28379  df-oc 28410  df-ch0 28411  df-shs 28468  df-chj 28470  df-pjh 28555

This theorem is referenced by: (None)