HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjnormssi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjnormssi 29011
Description: Theorem 4.5(i)<->(vi) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 26-Sep-2001.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjco.1 𝐺C
pjco.2 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pjnormssi (𝐺𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐺

Proof of Theorem pjnormssi
StepHypRef Expression
1 pjco.2 . . . . . . 7 𝐻C
2 pjco.1 . . . . . . 7 𝐺C
31, 2pjssmi 29008 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (𝐺𝐻 → (((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)) = ((proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥)))
41, 2pjssge0i 29009 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)) = ((proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥) → 0 ≤ ((((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)) ·ih 𝑥)))
53, 4syld 47 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (𝐺𝐻 → 0 ≤ ((((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)) ·ih 𝑥)))
61, 2pjdifnormi 29010 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (0 ≤ ((((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)) ·ih 𝑥) ↔ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))))
75, 6sylibd 229 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (𝐺𝐻 → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))))
87com12 32 . . 3 (𝐺𝐻 → (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))))
98ralrimiv 2964 . 2 (𝐺𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℋ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)))
101choccli 28150 . . . . . . . 8 (⊥‘𝐻) ∈ C
1110cheli 28073 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ ℋ)
12 breq2 4655 . . . . . . . . . . . . 13 ((norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) = 0 → ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) ↔ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ 0))
1312biimpac 503 . . . . . . . . . . . 12 (((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) ∧ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) = 0) → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ 0)
142pjhcli 28261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)
15 normge0 27967 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)))
17 normcl 27966 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
1814, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
19 0re 10037 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
20 letri3 10120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)))))
2120biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥))) → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0))
2218, 19, 21sylancl 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥))) → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0))
2316, 22sylan2i 687 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → (((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0))
2423anabsi6 859 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ 0) → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0)
2513, 24sylan2 491 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) ∧ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) = 0)) → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0)
2625expr 643 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))) → ((norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) = 0 → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0))
271pjhcli 28261 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ)
28 norm-i 27970 . . . . . . . . . . . . 13 (((proj𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ → ((norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) = 0 ↔ ((proj𝐻)‘𝑥) = 0))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) = 0 ↔ ((proj𝐻)‘𝑥) = 0))
30 pjoc2 28282 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐻C𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) ↔ ((proj𝐻)‘𝑥) = 0))
311, 30mpan 706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) ↔ ((proj𝐻)‘𝑥) = 0))
3229, 31bitr4d 271 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) = 0 ↔ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)))
3332adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))) → ((norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) = 0 ↔ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)))
34 norm-i 27970 . . . . . . . . . . . . 13 (((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ → ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((proj𝐺)‘𝑥) = 0))
3514, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((proj𝐺)‘𝑥) = 0))
36 pjoc2 28282 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺C𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐺) ↔ ((proj𝐺)‘𝑥) = 0))
372, 36mpan 706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐺) ↔ ((proj𝐺)‘𝑥) = 0))
3835, 37bitr4d 271 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺)))
3938adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))) → ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺)))
4026, 33, 393imtr3d 282 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))) → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺)))
4140ex 450 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺))))
4241a2i 14 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))) → (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺))))
4311, 42syl5 34 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))) → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺))))
4443pm2.43d 53 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))) → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺)))
4544alimi 1738 . . . 4 (∀𝑥(𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))) → ∀𝑥(𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺)))
46 df-ral 2916 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℋ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))))
47 dfss2 3589 . . . 4 ((⊥‘𝐻) ⊆ (⊥‘𝐺) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺)))
4845, 46, 473imtr4i 281 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℋ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) → (⊥‘𝐻) ⊆ (⊥‘𝐺))
492, 1chsscon3i 28304 . . 3 (𝐺𝐻 ↔ (⊥‘𝐻) ⊆ (⊥‘𝐺))
5048, 49sylibr 224 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) → 𝐺𝐻)
519, 50impbii 199 1 (𝐺𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wal 1480   = wceq 1482  wcel 1989  wral 2911  cin 3571  wss 3572   class class class wbr 4651  cfv 5886  (class class class)co 6647  cr 9932  0cc0 9933  cle 10072  chil 27760   ·ih csp 27763  normcno 27764  0c0v 27765   cmv 27766   C cch 27770  cort 27771  projcpjh 27778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cc 9254  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011  ax-addf 10012  ax-mulf 10013  ax-hilex 27840  ax-hfvadd 27841  ax-hvcom 27842  ax-hvass 27843  ax-hv0cl 27844  ax-hvaddid 27845  ax-hfvmul 27846  ax-hvmulid 27847  ax-hvmulass 27848  ax-hvdistr1 27849  ax-hvdistr2 27850  ax-hvmul0 27851  ax-hfi 27920  ax-his1 27923  ax-his2 27924  ax-his3 27925  ax-his4 27926  ax-hcompl 28043
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-fal 1488  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-iin 4521  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-of 6894  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-supp 7293  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-omul 7562  df-er 7739  df-map 7856  df-pm 7857  df-ixp 7906  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-fsupp 8273  df-fi 8314  df-sup 8345  df-inf 8346  df-oi 8412  df-card 8762  df-acn 8765  df-cda 8987  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-q 11786  df-rp 11830  df-xneg 11943  df-xadd 11944  df-xmul 11945  df-ioo 12176  df-ico 12178  df-icc 12179  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-fl 12588  df-seq 12797  df-exp 12856  df-hash 13113  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-clim 14213  df-rlim 14214  df-sum 14411  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-starv 15950  df-sca 15951  df-vsca 15952  df-ip 15953  df-tset 15954  df-ple 15955  df-ds 15958  df-unif 15959  df-hom 15960  df-cco 15961  df-rest 16077  df-topn 16078  df-0g 16096  df-gsum 16097  df-topgen 16098  df-pt 16099  df-prds 16102  df-xrs 16156  df-qtop 16161  df-imas 16162  df-xps 16164  df-mre 16240  df-mrc 16241  df-acs 16243  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-submnd 17330  df-mulg 17535  df-cntz 17744  df-cmn 18189  df-psmet 19732  df-xmet 19733  df-met 19734  df-bl 19735  df-mopn 19736  df-fbas 19737  df-fg 19738  df-cnfld 19741  df-top 20693  df-topon 20710  df-topsp 20731  df-bases 20744  df-cld 20817  df-ntr 20818  df-cls 20819  df-nei 20896  df-cn 21025  df-cnp 21026  df-lm 21027  df-haus 21113  df-tx 21359  df-hmeo 21552  df-fil 21644  df-fm 21736  df-flim 21737  df-flf 21738  df-xms 22119  df-ms 22120  df-tms 22121  df-cfil 23047  df-cau 23048  df-cmet 23049  df-grpo 27331  df-gid 27332  df-ginv 27333  df-gdiv 27334  df-ablo 27383  df-vc 27398  df-nv 27431  df-va 27434  df-ba 27435  df-sm 27436  df-0v 27437  df-vs 27438  df-nmcv 27439  df-ims 27440  df-dip 27540  df-ssp 27561  df-ph 27652  df-cbn 27703  df-hnorm 27809  df-hba 27810  df-hvsub 27812  df-hlim 27813  df-hcau 27814  df-sh 28048  df-ch 28062  df-oc 28093  df-ch0 28094  df-shs 28151  df-pjh 28238
This theorem is referenced by:  pjssposi  29015
  Copyright terms: Public domain W3C validator