HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjordi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjordi 28222
Description: The definition of projector ordering in [Halmos] p. 42 is equivalent to the definition of projector ordering in [Beran] p. 110. (We will usually express projector ordering with the even simpler equivalent 𝐺𝐻; see pjssposi 28221). (Contributed by NM, 2-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjco.1 𝐺C
pjco.2 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pjordi (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ ((proj𝐺) “ ℋ) ⊆ ((proj𝐻) “ ℋ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐺

Proof of Theorem pjordi
StepHypRef Expression
1 pjco.1 . . 3 𝐺C
2 pjco.2 . . 3 𝐻C
31, 2pjssposi 28221 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝐺𝐻)
41pjfoi 27752 . . . 4 (proj𝐺): ℋ–onto𝐺
5 foima 6018 . . . 4 ((proj𝐺): ℋ–onto𝐺 → ((proj𝐺) “ ℋ) = 𝐺)
64, 5ax-mp 5 . . 3 ((proj𝐺) “ ℋ) = 𝐺
72pjfoi 27752 . . . 4 (proj𝐻): ℋ–onto𝐻
8 foima 6018 . . . 4 ((proj𝐻): ℋ–onto𝐻 → ((proj𝐻) “ ℋ) = 𝐻)
97, 8ax-mp 5 . . 3 ((proj𝐻) “ ℋ) = 𝐻
106, 9sseq12i 3593 . 2 (((proj𝐺) “ ℋ) ⊆ ((proj𝐻) “ ℋ) ↔ 𝐺𝐻)
113, 10bitr4i 265 1 (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ ((proj𝐺) “ ℋ) ⊆ ((proj𝐻) “ ℋ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  wss 3539   class class class wbr 4577  cima 5031  ontowfo 5788  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9792  cle 9931  chil 26966   ·ih csp 26969   C cch 26976  projcpjh 26984  op chod 26987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cc 9117  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872  ax-hilex 27046  ax-hfvadd 27047  ax-hvcom 27048  ax-hvass 27049  ax-hv0cl 27050  ax-hvaddid 27051  ax-hfvmul 27052  ax-hvmulid 27053  ax-hvmulass 27054  ax-hvdistr1 27055  ax-hvdistr2 27056  ax-hvmul0 27057  ax-hfi 27126  ax-his1 27129  ax-his2 27130  ax-his3 27131  ax-his4 27132  ax-hcompl 27249
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-acn 8628  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-lm 20785  df-haus 20871  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cfil 22779  df-cau 22780  df-cmet 22781  df-grpo 26497  df-gid 26498  df-ginv 26499  df-gdiv 26500  df-ablo 26552  df-vc 26567  df-nv 26615  df-va 26618  df-ba 26619  df-sm 26620  df-0v 26621  df-vs 26622  df-nmcv 26623  df-ims 26624  df-dip 26741  df-ssp 26765  df-ph 26858  df-cbn 26909  df-hnorm 27015  df-hba 27016  df-hvsub 27018  df-hlim 27019  df-hcau 27020  df-sh 27254  df-ch 27268  df-oc 27299  df-ch0 27300  df-shs 27357  df-pjh 27444  df-hodif 27781
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator