HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjpreeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjpreeq 28385
Description: Equality with a projection. This version of pjeq 28386 does not assume the Axiom of Choice via pjhth 28380. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjpreeq ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → (((proj𝐻)‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 + 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem pjpreeq
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chsh 28209 . . . . . . . 8 (𝐻C𝐻S )
2 shocsh 28271 . . . . . . . . 9 (𝐻S → (⊥‘𝐻) ∈ S )
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (𝐻C → (⊥‘𝐻) ∈ S )
4 shsel 28301 . . . . . . . 8 ((𝐻S ∧ (⊥‘𝐻) ∈ S ) → (𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)))
51, 3, 4syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝐻C → (𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)))
65biimpa 500 . . . . . 6 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → ∃𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥))
7 ocin 28283 . . . . . . . . 9 (𝐻S → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0)
81, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝐻C → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0)
9 pjhthmo 28289 . . . . . . . 8 ((𝐻S ∧ (⊥‘𝐻) ∈ S ∧ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0) → ∃*𝑦(𝑦𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)))
101, 3, 8, 9syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝐻C → ∃*𝑦(𝑦𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)))
1110adantr 480 . . . . . 6 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → ∃*𝑦(𝑦𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)))
12 reu5 3189 . . . . . . 7 (∃!𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥) ↔ (∃𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥) ∧ ∃*𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)))
13 df-rmo 2949 . . . . . . . 8 (∃*𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥) ↔ ∃*𝑦(𝑦𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)))
1413anbi2i 730 . . . . . . 7 ((∃𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥) ∧ ∃*𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) ↔ (∃𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥) ∧ ∃*𝑦(𝑦𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥))))
1512, 14bitri 264 . . . . . 6 (∃!𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥) ↔ (∃𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥) ∧ ∃*𝑦(𝑦𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥))))
166, 11, 15sylanbrc 699 . . . . 5 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → ∃!𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥))
17 riotacl 6665 . . . . 5 (∃!𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥) → (𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) ∈ 𝐻)
1816, 17syl 17 . . . 4 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → (𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) ∈ 𝐻)
19 eleq1 2718 . . . 4 ((𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) = 𝐵 → ((𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) ∈ 𝐻𝐵𝐻))
2018, 19syl5ibcom 235 . . 3 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → ((𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) = 𝐵𝐵𝐻))
2120pm4.71rd 668 . 2 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → ((𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) = 𝐵 ↔ (𝐵𝐻 ∧ (𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) = 𝐵)))
22 shsss 28300 . . . . . 6 ((𝐻S ∧ (⊥‘𝐻) ∈ S ) → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
231, 3, 22syl2anc 694 . . . . 5 (𝐻C → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
2423sselda 3636 . . . 4 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → 𝐴 ∈ ℋ)
25 pjhval 28384 . . . 4 ((𝐻C𝐴 ∈ ℋ) → ((proj𝐻)‘𝐴) = (𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)))
2624, 25syldan 486 . . 3 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → ((proj𝐻)‘𝐴) = (𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)))
2726eqeq1d 2653 . 2 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → (((proj𝐻)‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) = 𝐵))
28 id 22 . . . 4 (𝐵𝐻𝐵𝐻)
29 oveq1 6697 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 + 𝑥) = (𝐵 + 𝑥))
3029eqeq2d 2661 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 = (𝑦 + 𝑥) ↔ 𝐴 = (𝐵 + 𝑥)))
3130rexbidv 3081 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 + 𝑥)))
3231riota2 6673 . . . 4 ((𝐵𝐻 ∧ ∃!𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) → (∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 + 𝑥) ↔ (𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) = 𝐵))
3328, 16, 32syl2anr 494 . . 3 (((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) ∧ 𝐵𝐻) → (∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 + 𝑥) ↔ (𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) = 𝐵))
3433pm5.32da 674 . 2 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → ((𝐵𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 + 𝑥)) ↔ (𝐵𝐻 ∧ (𝑦𝐻𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) = 𝐵)))
3521, 27, 343bitr4d 300 1 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → (((proj𝐻)‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 + 𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  ∃*wmo 2499  wrex 2942  ∃!wreu 2943  ∃*wrmo 2944  cin 3606  wss 3607  cfv 5926  crio 6650  (class class class)co 6690  chil 27904   + cva 27905   S csh 27913   C cch 27914  cort 27915   + cph 27916  0c0h 27920  projcpjh 27922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvmulass 27992  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-grpo 27475  df-ablo 27527  df-hvsub 27956  df-sh 28192  df-ch 28206  df-oc 28237  df-ch0 28238  df-shs 28295  df-pjh 28382
This theorem is referenced by:  pjeq  28386  pjpjpre  28406  chscllem1  28624  chscllem2  28625  chscllem3  28626
  Copyright terms: Public domain W3C validator