Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjssdif2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjssdif2i 28879
 Description: The projection subspace of the difference between two projectors. Part 2 of Theorem 29.3 of [Halmos] p. 48 (shortened with pjssposi 28877). (Contributed by NM, 2-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjco.1 𝐺C
pjco.2 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pjssdif2i (𝐺𝐻 ↔ ((proj𝐻) −op (proj𝐺)) = (proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))))

Proof of Theorem pjssdif2i
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjco.2 . . . . . . . 8 𝐻C
21pjfi 28409 . . . . . . 7 (proj𝐻): ℋ⟶ ℋ
3 pjco.1 . . . . . . . 8 𝐺C
43pjfi 28409 . . . . . . 7 (proj𝐺): ℋ⟶ ℋ
5 hodval 28447 . . . . . . 7 (((proj𝐻): ℋ⟶ ℋ ∧ (proj𝐺): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) = (((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)))
62, 4, 5mp3an12 1411 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) = (((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)))
76adantl 482 . . . . 5 ((𝐺𝐻𝑥 ∈ ℋ) → (((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) = (((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)))
81, 3pjssmi 28870 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (𝐺𝐻 → (((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)) = ((proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥)))
98impcom 446 . . . . 5 ((𝐺𝐻𝑥 ∈ ℋ) → (((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)) = ((proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
107, 9eqtrd 2655 . . . 4 ((𝐺𝐻𝑥 ∈ ℋ) → (((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) = ((proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
1110ralrimiva 2960 . . 3 (𝐺𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℋ (((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) = ((proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
122, 4hosubfni 28476 . . . 4 ((proj𝐻) −op (proj𝐺)) Fn ℋ
133choccli 28012 . . . . . 6 (⊥‘𝐺) ∈ C
141, 13chincli 28165 . . . . 5 (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) ∈ C
1514pjfni 28406 . . . 4 (proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) Fn ℋ
16 eqfnfv 6267 . . . 4 ((((proj𝐻) −op (proj𝐺)) Fn ℋ ∧ (proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) Fn ℋ) → (((proj𝐻) −op (proj𝐺)) = (proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) = ((proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥)))
1712, 15, 16mp2an 707 . . 3 (((proj𝐻) −op (proj𝐺)) = (proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) = ((proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
1811, 17sylibr 224 . 2 (𝐺𝐻 → ((proj𝐻) −op (proj𝐺)) = (proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))))
1914pjige0i 28395 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (((proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥) ·ih 𝑥))
2019adantl 482 . . . . 5 ((((proj𝐻) −op (proj𝐺)) = (proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 0 ≤ (((proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥) ·ih 𝑥))
21 fveq1 6147 . . . . . . 7 (((proj𝐻) −op (proj𝐺)) = (proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → (((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) = ((proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
2221oveq1d 6619 . . . . . 6 (((proj𝐻) −op (proj𝐺)) = (proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → ((((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥) ·ih 𝑥))
2322adantr 481 . . . . 5 ((((proj𝐻) −op (proj𝐺)) = (proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥) ·ih 𝑥))
2420, 23breqtrrd 4641 . . . 4 ((((proj𝐻) −op (proj𝐺)) = (proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 0 ≤ ((((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥))
2524ralrimiva 2960 . . 3 (((proj𝐻) −op (proj𝐺)) = (proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥))
263, 1pjssposi 28877 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝐺𝐻)
2725, 26sylib 208 . 2 (((proj𝐻) −op (proj𝐺)) = (proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → 𝐺𝐻)
2818, 27impbii 199 1 (𝐺𝐻 ↔ ((proj𝐻) −op (proj𝐺)) = (proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907   ∩ cin 3554   ⊆ wss 3555   class class class wbr 4613   Fn wfn 5842  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880   ≤ cle 10019   ℋchil 27622   ·ih csp 27625   −ℎ cmv 27628   Cℋ cch 27632  ⊥cort 27633  projℎcpjh 27640   −op chod 27643 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cc 9201  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960  ax-hilex 27702  ax-hfvadd 27703  ax-hvcom 27704  ax-hvass 27705  ax-hv0cl 27706  ax-hvaddid 27707  ax-hfvmul 27708  ax-hvmulid 27709  ax-hvmulass 27710  ax-hvdistr1 27711  ax-hvdistr2 27712  ax-hvmul0 27713  ax-hfi 27782  ax-his1 27785  ax-his2 27786  ax-his3 27787  ax-his4 27788  ax-hcompl 27905 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-lm 20943  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cfil 22961  df-cau 22962  df-cmet 22963  df-grpo 27193  df-gid 27194  df-ginv 27195  df-gdiv 27196  df-ablo 27245  df-vc 27260  df-nv 27293  df-va 27296  df-ba 27297  df-sm 27298  df-0v 27299  df-vs 27300  df-nmcv 27301  df-ims 27302  df-dip 27402  df-ssp 27423  df-ph 27514  df-cbn 27565  df-hnorm 27671  df-hba 27672  df-hvsub 27674  df-hlim 27675  df-hcau 27676  df-sh 27910  df-ch 27924  df-oc 27955  df-ch0 27956  df-shs 28013  df-pjh 28100  df-hodif 28437 This theorem is referenced by:  pjssdif1i  28880
 Copyright terms: Public domain W3C validator