MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjth 22894
Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector 𝐴 can be decomposed uniquely into a member 𝑥 of a closed subspace 𝐻 and a member 𝑦 of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102 (existence part). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pjth.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
pjth.s = (LSSum‘𝑊)
pjth.o 𝑂 = (ocv‘𝑊)
pjth.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
pjth.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
pjth ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈 (𝑂𝑈)) = 𝑉)

Proof of Theorem pjth
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlphl 22833 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ PreHil)
213ad2ant1 1074 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑊 ∈ PreHil)
3 phllmod 19698 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑊 ∈ LMod)
5 simp2 1054 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑈𝐿)
6 pjth.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
7 pjth.l . . . . . . 7 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
86, 7lssss 18660 . . . . . 6 (𝑈𝐿𝑈𝑉)
983ad2ant2 1075 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑈𝑉)
10 pjth.o . . . . . 6 𝑂 = (ocv‘𝑊)
116, 10, 7ocvlss 19736 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈𝑉) → (𝑂𝑈) ∈ 𝐿)
122, 9, 11syl2anc 690 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑂𝑈) ∈ 𝐿)
13 pjth.s . . . . 5 = (LSSum‘𝑊)
147, 13lsmcl 18806 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿 ∧ (𝑂𝑈) ∈ 𝐿) → (𝑈 (𝑂𝑈)) ∈ 𝐿)
154, 5, 12, 14syl3anc 1317 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈 (𝑂𝑈)) ∈ 𝐿)
166, 7lssss 18660 . . 3 ((𝑈 (𝑂𝑈)) ∈ 𝐿 → (𝑈 (𝑂𝑈)) ⊆ 𝑉)
1715, 16syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈 (𝑂𝑈)) ⊆ 𝑉)
18 eqid 2514 . . . . 5 (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
19 eqid 2514 . . . . 5 (+g𝑊) = (+g𝑊)
20 eqid 2514 . . . . 5 (-g𝑊) = (-g𝑊)
21 eqid 2514 . . . . 5 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
22 simpl1 1056 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑊 ∈ ℂHil)
23 simpl2 1057 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑈𝐿)
24 simpr 475 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥𝑉)
25 pjth.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
26 simpl3 1058 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))
276, 18, 19, 20, 21, 7, 22, 23, 24, 25, 13, 10, 26pjthlem2 22893 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥 ∈ (𝑈 (𝑂𝑈)))
2827ex 448 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑥𝑉𝑥 ∈ (𝑈 (𝑂𝑈))))
2928ssrdv 3478 . 2 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑉 ⊆ (𝑈 (𝑂𝑈)))
3017, 29eqssd 3489 1 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈 (𝑂𝑈)) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1938  wss 3444  cfv 5689  (class class class)co 6425  Basecbs 15577  +gcplusg 15650  ·𝑖cip 15655  TopOpenctopn 15787  -gcsg 17137  LSSumclsm 17778  LModclmod 18591  LSubSpclss 18655  PreHilcphl 19692  ocvcocv 19724  Clsdccld 20531  normcnm 22091  ℂHilchl 22803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6722  ax-inf2 8296  ax-cnex 9746  ax-resscn 9747  ax-1cn 9748  ax-icn 9749  ax-addcl 9750  ax-addrcl 9751  ax-mulcl 9752  ax-mulrcl 9753  ax-mulcom 9754  ax-addass 9755  ax-mulass 9756  ax-distr 9757  ax-i2m1 9758  ax-1ne0 9759  ax-1rid 9760  ax-rnegex 9761  ax-rrecex 9762  ax-cnre 9763  ax-pre-lttri 9764  ax-pre-lttrn 9765  ax-pre-ltadd 9766  ax-pre-mulgt0 9767  ax-pre-sup 9768  ax-addf 9769  ax-mulf 9770
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-iin 4356  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-isom 5698  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-of 6670  df-om 6833  df-1st 6933  df-2nd 6934  df-supp 7057  df-tpos 7113  df-wrecs 7168  df-recs 7230  df-rdg 7268  df-1o 7322  df-2o 7323  df-oadd 7326  df-er 7504  df-map 7621  df-ixp 7670  df-en 7717  df-dom 7718  df-sdom 7719  df-fin 7720  df-fsupp 8034  df-fi 8075  df-sup 8106  df-inf 8107  df-oi 8173  df-card 8523  df-cda 8748  df-pnf 9830  df-mnf 9831  df-xr 9832  df-ltxr 9833  df-le 9834  df-sub 10018  df-neg 10019  df-div 10433  df-nn 10775  df-2 10833  df-3 10834  df-4 10835  df-5 10836  df-6 10837  df-7 10838  df-8 10839  df-9 10840  df-n0 11047  df-z 11118  df-dec 11233  df-uz 11427  df-q 11530  df-rp 11574  df-xneg 11687  df-xadd 11688  df-xmul 11689  df-ioo 11918  df-ico 11920  df-icc 11921  df-fz 12065  df-fzo 12202  df-seq 12531  df-exp 12590  df-hash 12847  df-cj 13544  df-re 13545  df-im 13546  df-sqrt 13680  df-abs 13681  df-struct 15579  df-ndx 15580  df-slot 15581  df-base 15582  df-sets 15583  df-ress 15584  df-plusg 15663  df-mulr 15664  df-starv 15665  df-sca 15666  df-vsca 15667  df-ip 15668  df-tset 15669  df-ple 15670  df-ds 15673  df-unif 15674  df-hom 15675  df-cco 15676  df-rest 15788  df-topn 15789  df-0g 15807  df-gsum 15808  df-topgen 15809  df-pt 15810  df-prds 15813  df-xrs 15867  df-qtop 15873  df-imas 15874  df-xps 15877  df-mre 15959  df-mrc 15960  df-acs 15962  df-mgm 16955  df-sgrp 16997  df-mnd 17008  df-mhm 17048  df-submnd 17049  df-grp 17138  df-minusg 17139  df-sbg 17140  df-mulg 17254  df-subg 17304  df-ghm 17371  df-cntz 17463  df-lsm 17780  df-cmn 17924  df-abl 17925  df-mgp 18218  df-ur 18230  df-ring 18277  df-cring 18278  df-oppr 18351  df-dvdsr 18369  df-unit 18370  df-invr 18400  df-dvr 18411  df-rnghom 18443  df-drng 18477  df-subrg 18506  df-staf 18573  df-srng 18574  df-lmod 18593  df-lss 18656  df-lmhm 18745  df-lvec 18826  df-sra 18895  df-rgmod 18896  df-psmet 19461  df-xmet 19462  df-met 19463  df-bl 19464  df-mopn 19465  df-fbas 19466  df-fg 19467  df-cnfld 19470  df-phl 19694  df-ocv 19727  df-top 20422  df-bases 20423  df-topon 20424  df-topsp 20425  df-cld 20534  df-ntr 20535  df-cls 20536  df-nei 20613  df-cn 20742  df-cnp 20743  df-haus 20830  df-cmp 20901  df-tx 21076  df-hmeo 21269  df-fil 21361  df-flim 21454  df-fcls 21456  df-xms 21835  df-ms 21836  df-tms 21837  df-nm 22097  df-ngp 22098  df-nlm 22101  df-cncf 22410  df-clm 22595  df-cph 22647  df-cfil 22726  df-cmet 22728  df-cms 22804  df-bn 22805  df-hl 22806
This theorem is referenced by:  pjth2  22895
  Copyright terms: Public domain W3C validator