Theorem pjth 24044

Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector 𝐴 can be decomposed uniquely into a member 𝑥 of a closed subspace 𝐻 and a member 𝑦 of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102 (existence part). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjth.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
pjth.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
pjth.o	⊢ 𝑂 = (ocv‘𝑊)
pjth.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
pjth.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
pjth	⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)) = 𝑉)

Proof of Theorem pjth

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlphl 23970	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ PreHil)
2	1	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑊 ∈ PreHil)
3		phllmod 20776	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑊 ∈ LMod)
5		simp2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐿)
6		pjth.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		pjth.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
8	6, 7	lssss 19710	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
9	8	3ad2ant2 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
10		pjth.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (ocv‘𝑊)
11	6, 10, 7	ocvlss 20818	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑂‘𝑈) ∈ 𝐿)
12	2, 9, 11	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑂‘𝑈) ∈ 𝐿)
13		pjth.s	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
14	7, 13	lsmcl 19857	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ (𝑂‘𝑈) ∈ 𝐿) → (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)) ∈ 𝐿)
15	4, 5, 12, 14	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)) ∈ 𝐿)
16	6, 7	lssss 19710	. . 3 ⊢ ((𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)) ∈ 𝐿 → (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)) ⊆ 𝑉)
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)) ⊆ 𝑉)
18		eqid 2823	. . 3 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
19		eqid 2823	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
20		eqid 2823	. . 3 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
21		eqid 2823	. . 3 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
22		simpl1 1187	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂHil)
23		simpl2 1188	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝐿)
24		simpr 487	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑉)
25		pjth.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
26		simpl3 1189	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))
27	6, 18, 19, 20, 21, 7, 22, 23, 24, 25, 13, 10, 26	pjthlem2 24043	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)))
28	17, 27	eqelssd 3990	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3938  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  ·_𝑖cip 16572  TopOpenctopn 16697  -_gcsg 18107  LSSumclsm 18761  LModclmod 19636  LSubSpclss 19705  PreHilcphl 20770  ocvcocv 20806  Clsdccld 21626  normcnm 23188  ℂHilchl 23939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-tpos 7894  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-xrs 16777  df-qtop 16782  df-imas 16783  df-xps 16785  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-mhm 17958  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-mulg 18227  df-subg 18278  df-ghm 18358  df-cntz 18449  df-lsm 18763  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-cring 19302  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-invr 19424  df-dvr 19435  df-rnghom 19469  df-drng 19506  df-subrg 19535  df-staf 19618  df-srng 19619  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lmhm 19796  df-lvec 19877  df-sra 19946  df-rgmod 19947  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-fbas 20544  df-fg 20545  df-cnfld 20548  df-phl 20772  df-ocv 20809  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cld 21629  df-ntr 21630  df-cls 21631  df-nei 21708  df-cn 21837  df-cnp 21838  df-haus 21925  df-cmp 21997  df-tx 22172  df-hmeo 22365  df-fil 22456  df-flim 22549  df-fcls 22551  df-xms 22932  df-ms 22933  df-tms 22934  df-nm 23194  df-ngp 23195  df-nlm 23198  df-cncf 23488  df-clm 23669  df-cph 23774  df-cfil 23860  df-cmet 23862  df-cms 23940  df-bn 23941  df-hl 23942

This theorem is referenced by:  pjth2  24045