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Theorem pjthlem1 23254
Description: Lemma for pjth 23256. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjthlem.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
pjthlem.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
pjthlem.p + = (+g𝑊)
pjthlem.m = (-g𝑊)
pjthlem.h , = (·𝑖𝑊)
pjthlem.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
pjthlem.1 (𝜑𝑊 ∈ ℂHil)
pjthlem.2 (𝜑𝑈𝐿)
pjthlem.4 (𝜑𝐴𝑉)
pjthlem.5 (𝜑𝐵𝑈)
pjthlem.7 (𝜑 → ∀𝑥𝑈 (𝑁𝐴) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑥)))
pjthlem.8 𝑇 = ((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))
Assertion
Ref Expression
pjthlem1 (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑇   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   + (𝑥)   , (𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem pjthlem1
StepHypRef Expression
1 pjthlem.1 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ ℂHil)
2 hlcph 23206 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
4 pjthlem.4 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
5 pjthlem.2 . . . . 5 (𝜑𝑈𝐿)
6 pjthlem.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
7 pjthlem.l . . . . . 6 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
86, 7lssss 18985 . . . . 5 (𝑈𝐿𝑈𝑉)
95, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
10 pjthlem.5 . . . 4 (𝜑𝐵𝑈)
119, 10sseldd 3637 . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
12 pjthlem.h . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
136, 12cphipcl 23037 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)
143, 4, 11, 13syl3anc 1366 . 2 (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)
1514abscld 14219 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐴 , 𝐵)) ∈ ℝ)
1615recnd 10106 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐴 , 𝐵)) ∈ ℂ)
1715resqcld 13075 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
1817renegcld 10495 . . . . . 6 (𝜑 → -((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
196, 12reipcl 23043 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵𝑉) → (𝐵 , 𝐵) ∈ ℝ)
203, 11, 19syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 , 𝐵) ∈ ℝ)
21 2re 11128 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
22 readdcl 10057 . . . . . . 7 (((𝐵 , 𝐵) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝐵 , 𝐵) + 2) ∈ ℝ)
2320, 21, 22sylancl 695 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 2) ∈ ℝ)
24 0red 10079 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
25 peano2re 10247 . . . . . . . 8 ((𝐵 , 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐵 , 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
2620, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
276, 12ipge0 23044 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵𝑉) → 0 ≤ (𝐵 , 𝐵))
283, 11, 27syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵 , 𝐵))
2920ltp1d 10992 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 , 𝐵) < ((𝐵 , 𝐵) + 1))
3024, 20, 26, 28, 29lelttrd 10233 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < ((𝐵 , 𝐵) + 1))
3126ltp1d 10992 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 1) < (((𝐵 , 𝐵) + 1) + 1))
3220recnd 10106 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ)
33 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
34 addass 10061 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐵 , 𝐵) + 1) + 1) = ((𝐵 , 𝐵) + (1 + 1)))
3533, 33, 34mp3an23 1456 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ → (((𝐵 , 𝐵) + 1) + 1) = ((𝐵 , 𝐵) + (1 + 1)))
3632, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐵 , 𝐵) + 1) + 1) = ((𝐵 , 𝐵) + (1 + 1)))
37 df-2 11117 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
3837oveq2i 6701 . . . . . . . . 9 ((𝐵 , 𝐵) + 2) = ((𝐵 , 𝐵) + (1 + 1))
3936, 38syl6reqr 2704 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 2) = (((𝐵 , 𝐵) + 1) + 1))
4031, 39breqtrrd 4713 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 1) < ((𝐵 , 𝐵) + 2))
4124, 26, 23, 30, 40lttrd 10236 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < ((𝐵 , 𝐵) + 2))
42 cphlmod 23020 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
433, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
44 pjthlem.8 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = ((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))
45 hlphl 23207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ PreHil)
461, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
47 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
48 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4947, 12, 6, 48ipcl 20026 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5046, 4, 11, 49syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5147, 48hlress 23210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ ℂHil → ℝ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
521, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ℝ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5352, 26sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 1) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5420, 28ge0p1rpd 11940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
5554rpne0d 11915 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 1) ≠ 0)
5647, 48cphdivcl 23028 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ((𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝐵 , 𝐵) + 1) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝐵 , 𝐵) + 1) ≠ 0)) → ((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
573, 50, 53, 55, 56syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5844, 57syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
59 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
6047, 59, 48, 7lssvscl 19003 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑇 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐵𝑈)) → (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑈)
6143, 5, 58, 10, 60syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑈)
62 pjthlem.7 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝑈 (𝑁𝐴) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑥)))
63 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) → (𝐴 𝑥) = (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))
6463fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) → (𝑁‘(𝐴 𝑥)) = (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
6564breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) → ((𝑁𝐴) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ↔ (𝑁𝐴) ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))))
6665rspcv 3336 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑈 → (∀𝑥𝑈 (𝑁𝐴) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑥)) → (𝑁𝐴) ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))))
6761, 62, 66sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁𝐴) ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
68 cphngp 23019 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
693, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊 ∈ NrmGrp)
70 pjthlem.n . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = (norm‘𝑊)
716, 70nmcl 22467 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
7269, 4, 71syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
736, 47, 59, 48lmodvscl 18928 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐵𝑉) → (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)
7443, 58, 11, 73syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)
75 pjthlem.m . . . . . . . . . . . . . . 15 = (-g𝑊)
766, 75lmodvsubcl 18956 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉) → (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ 𝑉)
7743, 4, 74, 76syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ 𝑉)
786, 70nmcl 22467 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) ∈ ℝ)
7969, 77, 78syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) ∈ ℝ)
806, 70nmge0 22468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
8169, 4, 80syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝐴))
826, 70nmge0 22468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
8369, 77, 82syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
8472, 79, 81, 83le2sqd 13084 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁𝐴) ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) ↔ ((𝑁𝐴)↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2)))
8567, 84mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁𝐴)↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2))
8679resqcld 13075 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
8772resqcld 13075 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℝ)
8886, 87subge0d 10655 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 ≤ (((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) − ((𝑁𝐴)↑2)) ↔ ((𝑁𝐴)↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2)))
8985, 88mpbird 247 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) − ((𝑁𝐴)↑2)))
90 2z 11447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
91 rpexpcl 12919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐵 , 𝐵) + 1) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2) ∈ ℝ+)
9254, 90, 91sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2) ∈ ℝ+)
9317, 92rerpdivcld 11941 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) ∈ ℝ)
9493, 23remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) ∈ ℝ)
9594recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) ∈ ℂ)
9695negcld 10417 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) ∈ ℂ)
976, 12cphipcl 23037 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉𝐴𝑉) → (𝐴 , 𝐴) ∈ ℂ)
983, 4, 4, 97syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 , 𝐴) ∈ ℂ)
9996, 98pncand 10431 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) + (𝐴 , 𝐴)) − (𝐴 , 𝐴)) = -((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)))
1006, 12, 70nmsq 23040 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ 𝑉) → ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) = ((𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
1013, 77, 100syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) = ((𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
10212, 6, 75cphsubdir 23054 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = ((𝐴 , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))))
1033, 4, 74, 77, 102syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = ((𝐴 , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))))
10412, 6, 75cphsubdi 23055 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐴𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = ((𝐴 , 𝐴) − (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
1053, 4, 4, 74, 104syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = ((𝐴 , 𝐴) − (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
106105oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))) = (((𝐴 , 𝐴) − (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))))
1076, 12cphipcl 23037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉) → (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ ℂ)
1083, 4, 74, 107syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ ℂ)
10912, 6, 75cphsubdi 23055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉𝐴𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)) → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = (((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
1103, 74, 4, 74, 109syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = (((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
1116, 12cphipcl 23037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉𝐴𝑉) → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ ℂ)
1123, 74, 4, 111syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ ℂ)
1136, 12cphipcl 23037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉) → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ ℂ)
1143, 74, 74, 113syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ ℂ)
115112, 114subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) ∈ ℂ)
116110, 115eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) ∈ ℂ)
11798, 108, 116subsub4d 10461 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐴 , 𝐴) − (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))) = ((𝐴 , 𝐴) − ((𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) + ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))))
11893recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
11926recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 1) ∈ ℂ)
120 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
121118, 119, 120adddid 10102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (((𝐵 , 𝐵) + 1) + 1)) = (((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) + ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · 1)))
12239oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (((𝐵 , 𝐵) + 1) + 1)))
12312, 6, 47, 48, 59cphassr 23058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑇 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉)) → (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) = ((∗‘𝑇) · (𝐴 , 𝐵)))
1243, 58, 4, 11, 123syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) = ((∗‘𝑇) · (𝐴 , 𝐵)))
12514, 119, 55divcld 10839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)) ∈ ℂ)
12644, 125syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
127126cjcld 13980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (∗‘𝑇) ∈ ℂ)
128127, 14mulcomd 10099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((∗‘𝑇) · (𝐴 , 𝐵)) = ((𝐴 , 𝐵) · (∗‘𝑇)))
12914cjcld 13980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (∗‘(𝐴 , 𝐵)) ∈ ℂ)
13014, 129, 119, 55divassd 10874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐴 , 𝐵) · (∗‘(𝐴 , 𝐵))) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)) = ((𝐴 , 𝐵) · ((∗‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))))
13114absvalsqd 14225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) = ((𝐴 , 𝐵) · (∗‘(𝐴 , 𝐵))))
132131oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)) = (((𝐴 , 𝐵) · (∗‘(𝐴 , 𝐵))) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
13344fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∗‘𝑇) = (∗‘((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
13414, 119, 55cjdivd 14007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (∗‘((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))) = ((∗‘(𝐴 , 𝐵)) / (∗‘((𝐵 , 𝐵) + 1))))
13526cjred 14010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (∗‘((𝐵 , 𝐵) + 1)) = ((𝐵 , 𝐵) + 1))
136135oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((∗‘(𝐴 , 𝐵)) / (∗‘((𝐵 , 𝐵) + 1))) = ((∗‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
137134, 136eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (∗‘((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))) = ((∗‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
138133, 137syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (∗‘𝑇) = ((∗‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
139138oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) · (∗‘𝑇)) = ((𝐴 , 𝐵) · ((∗‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))))
140130, 132, 1393eqtr4rd 2696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) · (∗‘𝑇)) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
141124, 128, 1403eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
14217recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ∈ ℂ)
143142, 119mulcomd 10099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) = (((𝐵 , 𝐵) + 1) · ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2)))
144119sqvald 13045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2) = (((𝐵 , 𝐵) + 1) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
145143, 144oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) = ((((𝐵 , 𝐵) + 1) · ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1) · ((𝐵 , 𝐵) + 1))))
146142, 119, 119, 55, 55divcan5d 10865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((𝐵 , 𝐵) + 1) · ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1) · ((𝐵 , 𝐵) + 1))) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
147145, 146eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)))
14892rpcnd 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2) ∈ ℂ)
14992rpne0d 11915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2) ≠ 0)
150142, 119, 148, 149div23d 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
151141, 147, 1503eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
15293, 26remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) ∈ ℝ)
153151, 152eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ ℝ)
154153cjred 14010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (∗‘(𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))
15512, 6cphipcj 23045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉) → (∗‘(𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴))
1563, 4, 74, 155syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (∗‘(𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴))
157154, 156, 1513eqtr3d 2693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
15812, 6, 47, 48, 59cph2ass 23059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑇 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝐵𝑉𝐵𝑉)) → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) = ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐵 , 𝐵)))
1593, 58, 58, 11, 11, 158syl122anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) = ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐵 , 𝐵)))
16044fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (abs‘𝑇) = (abs‘((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
16114, 119, 55absdivd 14238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))) = ((abs‘(𝐴 , 𝐵)) / (abs‘((𝐵 , 𝐵) + 1))))
16254rpge0d 11914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐵 , 𝐵) + 1))
16326, 162absidd 14205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (abs‘((𝐵 , 𝐵) + 1)) = ((𝐵 , 𝐵) + 1))
164163oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 , 𝐵)) / (abs‘((𝐵 , 𝐵) + 1))) = ((abs‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
165161, 164eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))) = ((abs‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
166160, 165syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (abs‘𝑇) = ((abs‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
167166oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((abs‘𝑇)↑2) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))↑2))
168126absvalsqd 14225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((abs‘𝑇)↑2) = (𝑇 · (∗‘𝑇)))
16916, 119, 55sqdivd 13061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))↑2) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)))
170167, 168, 1693eqtr3d 2693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑇 · (∗‘𝑇)) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)))
171170oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐵 , 𝐵)) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (𝐵 , 𝐵)))
172159, 171eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (𝐵 , 𝐵)))
173157, 172oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = (((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) − ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (𝐵 , 𝐵))))
174 pncan2 10326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐵 , 𝐵) + 1) − (𝐵 , 𝐵)) = 1)
17532, 33, 174sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐵 , 𝐵) + 1) − (𝐵 , 𝐵)) = 1)
176175oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (((𝐵 , 𝐵) + 1) − (𝐵 , 𝐵))) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · 1))
177118, 119, 32subdid 10524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (((𝐵 , 𝐵) + 1) − (𝐵 , 𝐵))) = (((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) − ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (𝐵 , 𝐵))))
178176, 177eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · 1) = (((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) − ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (𝐵 , 𝐵))))
179173, 110, 1783eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · 1))
180151, 179oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) + ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))) = (((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) + ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · 1)))
181121, 122, 1803eqtr4rd 2696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) + ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)))
182181oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) − ((𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) + ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))) = ((𝐴 , 𝐴) − ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2))))
183106, 117, 1823eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))) = ((𝐴 , 𝐴) − ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2))))
184101, 103, 1833eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) = ((𝐴 , 𝐴) − ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2))))
18598, 95negsubd 10436 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + -((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2))) = ((𝐴 , 𝐴) − ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2))))
18698, 96addcomd 10276 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + -((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2))) = (-((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) + (𝐴 , 𝐴)))
187184, 185, 1863eqtr2d 2691 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) = (-((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) + (𝐴 , 𝐴)))
1886, 12, 70nmsq 23040 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((𝑁𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
1893, 4, 188syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
190187, 189oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) − ((𝑁𝐴)↑2)) = ((-((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) + (𝐴 , 𝐴)) − (𝐴 , 𝐴)))
19123renegcld 10495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -((𝐵 , 𝐵) + 2) ∈ ℝ)
192191recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -((𝐵 , 𝐵) + 2) ∈ ℂ)
193142, 192, 148, 149div23d 10876 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)))
19423recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 2) ∈ ℂ)
195118, 194mulneg2d 10522 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) = -((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)))
196193, 195eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) = -((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)))
19799, 190, 1963eqtr4rd 2696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) = (((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) − ((𝑁𝐴)↑2)))
19889, 197breqtrrd 4713 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)))
19917, 191remulcld 10108 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) ∈ ℝ)
200199, 92ge0divd 11948 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) ↔ 0 ≤ ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2))))
201198, 200mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)))
202 mulneg12 10506 . . . . . . . 8 ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 , 𝐵) + 2) ∈ ℂ) → (-((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)))
203142, 194, 202syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (-((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)))
204201, 203breqtrrd 4713 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (-((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)))
205 prodge02 10909 . . . . . 6 (((-((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 , 𝐵) + 2) ∈ ℝ) ∧ (0 < ((𝐵 , 𝐵) + 2) ∧ 0 ≤ (-((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)))) → 0 ≤ -((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2))
20618, 23, 41, 204, 205syl22anc 1367 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ -((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2))
20717le0neg1d 10637 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2)))
208206, 207mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ≤ 0)
20915sqge0d 13076 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2))
210 0re 10078 . . . . 5 0 ∈ ℝ
211 letri3 10161 . . . . 5 ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) = 0 ↔ (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2))))
21217, 210, 211sylancl 695 . . . 4 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) = 0 ↔ (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2))))
213208, 209, 212mpbir2and 977 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) = 0)
21416, 213sqeq0d 13047 . 2 (𝜑 → (abs‘(𝐴 , 𝐵)) = 0)
21514, 214abs00d 14229 1 (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wss 3607   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  2c2 11108  cz 11415  +crp 11870  cexp 12900  ccj 13880  abscabs 14018  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  ·𝑖cip 15993  -gcsg 17471  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980  PreHilcphl 20017  normcnm 22428  NrmGrpcngp 22429  ℂPreHilccph 23012  ℂHilchl 23177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-staf 18893  df-srng 18894  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lmhm 19070  df-lvec 19151  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-phl 20019  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-flim 21790  df-fcls 21792  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-nm 22434  df-ngp 22435  df-nlm 22438  df-cncf 22728  df-clm 22909  df-cph 23014  df-cfil 23099  df-cmet 23101  df-cms 23178  df-bn 23179  df-hl 23180
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