MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjthlem2 22929
Description: Lemma for pjth 22930. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pjthlem.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
pjthlem.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
pjthlem.p + = (+g𝑊)
pjthlem.m = (-g𝑊)
pjthlem.h , = (·𝑖𝑊)
pjthlem.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
pjthlem.1 (𝜑𝑊 ∈ ℂHil)
pjthlem.2 (𝜑𝑈𝐿)
pjthlem.4 (𝜑𝐴𝑉)
pjthlem.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
pjthlem.s = (LSSum‘𝑊)
pjthlem.o 𝑂 = (ocv‘𝑊)
pjthlem.3 (𝜑𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))
Assertion
Ref Expression
pjthlem2 (𝜑𝐴 ∈ (𝑈 (𝑂𝑈)))

Proof of Theorem pjthlem2
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjthlem.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 pjthlem.m . . . 4 = (-g𝑊)
3 pjthlem.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝑊)
4 pjthlem.1 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ ℂHil)
5 hlcph 22880 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
7 pjthlem.2 . . . . 5 (𝜑𝑈𝐿)
8 pjthlem.l . . . . 5 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
97, 8syl6eleq 2692 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
10 pjthlem.3 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))
11 hlcms 22882 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ CMetSp)
124, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ CMetSp)
131, 8lssss 18699 . . . . . . 7 (𝑈𝐿𝑈𝑉)
147, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑉)
15 eqid 2604 . . . . . . 7 (𝑊s 𝑈) = (𝑊s 𝑈)
16 pjthlem.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
1715, 1, 16cmsss 22867 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑉) → ((𝑊s 𝑈) ∈ CMetSp ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
1812, 14, 17syl2anc 690 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑊s 𝑈) ∈ CMetSp ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
1910, 18mpbird 245 . . . 4 (𝜑 → (𝑊s 𝑈) ∈ CMetSp)
20 pjthlem.4 . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
211, 2, 3, 6, 9, 19, 20minvec 22927 . . 3 (𝜑 → ∃!𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
22 reurex 3131 . . 3 (∃!𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) → ∃𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
2321, 22syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
246adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
25 cphlmod 22701 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
2624, 25syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑊 ∈ LMod)
27 lmodabl 18674 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
2826, 27syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑊 ∈ Abel)
297adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑈𝐿)
3029, 13syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑈𝑉)
31 simprl 789 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑥𝑈)
3230, 31sseldd 3563 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑥𝑉)
3320adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝐴𝑉)
34 pjthlem.p . . . . 5 + = (+g𝑊)
351, 34, 2ablpncan3 17986 . . . 4 ((𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑥𝑉𝐴𝑉)) → (𝑥 + (𝐴 𝑥)) = 𝐴)
3628, 32, 33, 35syl12anc 1315 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → (𝑥 + (𝐴 𝑥)) = 𝐴)
378lsssssubg 18720 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
3826, 37syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
3938, 29sseldd 3563 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
40 cphphl 22698 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
4124, 40syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑊 ∈ PreHil)
42 pjthlem.o . . . . . . 7 𝑂 = (ocv‘𝑊)
431, 42, 8ocvlss 19772 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈𝑉) → (𝑂𝑈) ∈ 𝐿)
4441, 30, 43syl2anc 690 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → (𝑂𝑈) ∈ 𝐿)
4538, 44sseldd 3563 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → (𝑂𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
461, 2lmodvsubcl 18672 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝑥𝑉) → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑉)
4726, 33, 32, 46syl3anc 1317 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑉)
48 pjthlem.h . . . . . . . 8 , = (·𝑖𝑊)
494ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑊 ∈ ℂHil)
5029adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑈𝐿)
5147adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑉)
52 simpr 475 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧𝑈)
5326adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
5429adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝑈𝐿)
55 simpr 475 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝑤𝑈)
5631adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝑥𝑈)
5734, 8lssvacl 18716 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑤𝑈𝑥𝑈)) → (𝑤 + 𝑥) ∈ 𝑈)
5853, 54, 55, 56, 57syl22anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → (𝑤 + 𝑥) ∈ 𝑈)
59 simplrr 796 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
60 oveq2 6530 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑤 + 𝑥) → (𝐴 𝑦) = (𝐴 (𝑤 + 𝑥)))
6160fveq2d 6087 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑤 + 𝑥) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) = (𝑁‘(𝐴 (𝑤 + 𝑥))))
6261breq2d 4584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑤 + 𝑥) → ((𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑤 + 𝑥)))))
6362rspcv 3272 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 + 𝑥) ∈ 𝑈 → (∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) → (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑤 + 𝑥)))))
6458, 59, 63sylc 62 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑤 + 𝑥))))
65 lmodgrp 18634 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
6626, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑊 ∈ Grp)
6766adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝑊 ∈ Grp)
6833adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝐴𝑉)
6932adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝑥𝑉)
7030sselda 3562 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝑤𝑉)
711, 34, 2grpsubsub4 17272 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝐴𝑉𝑥𝑉𝑤𝑉)) → ((𝐴 𝑥) 𝑤) = (𝐴 (𝑤 + 𝑥)))
7267, 68, 69, 70, 71syl13anc 1319 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → ((𝐴 𝑥) 𝑤) = (𝐴 (𝑤 + 𝑥)))
7372fveq2d 6087 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → (𝑁‘((𝐴 𝑥) 𝑤)) = (𝑁‘(𝐴 (𝑤 + 𝑥))))
7464, 73breqtrrd 4600 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘((𝐴 𝑥) 𝑤)))
7574ralrimiva 2943 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → ∀𝑤𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘((𝐴 𝑥) 𝑤)))
7675adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → ∀𝑤𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘((𝐴 𝑥) 𝑤)))
77 eqid 2604 . . . . . . . 8 (((𝐴 𝑥) , 𝑧) / ((𝑧 , 𝑧) + 1)) = (((𝐴 𝑥) , 𝑧) / ((𝑧 , 𝑧) + 1))
781, 3, 34, 2, 48, 8, 49, 50, 51, 52, 76, 77pjthlem1 22928 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → ((𝐴 𝑥) , 𝑧) = 0)
7924adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
80 cphclm 22716 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
8179, 80syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑊 ∈ ℂMod)
82 eqid 2604 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
8382clm0 22606 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8481, 83syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8578, 84eqtrd 2638 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → ((𝐴 𝑥) , 𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8685ralrimiva 2943 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → ∀𝑧𝑈 ((𝐴 𝑥) , 𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
87 eqid 2604 . . . . . 6 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
881, 48, 82, 87, 42elocv 19768 . . . . 5 ((𝐴 𝑥) ∈ (𝑂𝑈) ↔ (𝑈𝑉 ∧ (𝐴 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧𝑈 ((𝐴 𝑥) , 𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
8930, 47, 86, 88syl3anbrc 1238 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → (𝐴 𝑥) ∈ (𝑂𝑈))
90 pjthlem.s . . . . 5 = (LSSum‘𝑊)
9134, 90lsmelvali 17829 . . . 4 (((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑂𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝑥𝑈 ∧ (𝐴 𝑥) ∈ (𝑂𝑈))) → (𝑥 + (𝐴 𝑥)) ∈ (𝑈 (𝑂𝑈)))
9239, 45, 31, 89, 91syl22anc 1318 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → (𝑥 + (𝐴 𝑥)) ∈ (𝑈 (𝑂𝑈)))
9336, 92eqeltrrd 2683 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝐴 ∈ (𝑈 (𝑂𝑈)))
9423, 93rexlimddv 3011 1 (𝜑𝐴 ∈ (𝑈 (𝑂𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wral 2890  wrex 2891  ∃!wreu 2892  wss 3534   class class class wbr 4572  cfv 5785  (class class class)co 6522  0cc0 9787  1c1 9788   + caddc 9790  cle 9926   / cdiv 10528  Basecbs 15636  s cress 15637  +gcplusg 15709  Scalarcsca 15712  ·𝑖cip 15714  TopOpenctopn 15846  0gc0g 15864  Grpcgrp 17186  -gcsg 17188  SubGrpcsubg 17352  LSSumclsm 17813  Abelcabl 17958  LModclmod 18627  LSubSpclss 18694  PreHilcphl 19728  ocvcocv 19760  Clsdccld 20567  normcnm 22127  ℂModcclm 22596  ℂPreHilccph 22693  CMetSpccms 22849  ℂHilchl 22851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-inf2 8393  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864  ax-pre-sup 9865  ax-addf 9866  ax-mulf 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-iin 4447  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-se 4983  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-isom 5794  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-of 6767  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-supp 7155  df-tpos 7211  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-2o 7420  df-oadd 7423  df-er 7601  df-map 7718  df-ixp 7767  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-fsupp 8131  df-fi 8172  df-sup 8203  df-inf 8204  df-oi 8270  df-card 8620  df-cda 8845  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-div 10529  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-4 10923  df-5 10924  df-6 10925  df-7 10926  df-8 10927  df-9 10928  df-n0 11135  df-z 11206  df-dec 11321  df-uz 11515  df-q 11616  df-rp 11660  df-xneg 11773  df-xadd 11774  df-xmul 11775  df-ioo 12001  df-ico 12003  df-icc 12004  df-fz 12148  df-fzo 12285  df-seq 12614  df-exp 12673  df-hash 12930  df-cj 13628  df-re 13629  df-im 13630  df-sqrt 13764  df-abs 13765  df-struct 15638  df-ndx 15639  df-slot 15640  df-base 15641  df-sets 15642  df-ress 15643  df-plusg 15722  df-mulr 15723  df-starv 15724  df-sca 15725  df-vsca 15726  df-ip 15727  df-tset 15728  df-ple 15729  df-ds 15732  df-unif 15733  df-hom 15734  df-cco 15735  df-rest 15847  df-topn 15848  df-0g 15866  df-gsum 15867  df-topgen 15868  df-pt 15869  df-prds 15872  df-xrs 15926  df-qtop 15931  df-imas 15932  df-xps 15934  df-mre 16010  df-mrc 16011  df-acs 16013  df-mgm 17006  df-sgrp 17048  df-mnd 17059  df-mhm 17099  df-submnd 17100  df-grp 17189  df-minusg 17190  df-sbg 17191  df-mulg 17305  df-subg 17355  df-ghm 17422  df-cntz 17514  df-lsm 17815  df-cmn 17959  df-abl 17960  df-mgp 18254  df-ur 18266  df-ring 18313  df-cring 18314  df-oppr 18387  df-dvdsr 18405  df-unit 18406  df-invr 18436  df-dvr 18447  df-rnghom 18479  df-drng 18513  df-subrg 18542  df-staf 18609  df-srng 18610  df-lmod 18629  df-lss 18695  df-lmhm 18784  df-lvec 18865  df-sra 18934  df-rgmod 18935  df-psmet 19500  df-xmet 19501  df-met 19502  df-bl 19503  df-mopn 19504  df-fbas 19505  df-fg 19506  df-cnfld 19509  df-phl 19730  df-ocv 19763  df-top 20458  df-bases 20459  df-topon 20460  df-topsp 20461  df-cld 20570  df-ntr 20571  df-cls 20572  df-nei 20649  df-cn 20778  df-cnp 20779  df-haus 20866  df-cmp 20937  df-tx 21112  df-hmeo 21305  df-fil 21397  df-flim 21490  df-fcls 21492  df-xms 21871  df-ms 21872  df-tms 21873  df-nm 22133  df-ngp 22134  df-nlm 22137  df-cncf 22415  df-clm 22597  df-cph 22695  df-cfil 22774  df-cmet 22776  df-cms 22852  df-bn 22853  df-hl 22854
This theorem is referenced by:  pjth  22930
  Copyright terms: Public domain W3C validator