Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pl42lem2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pl42lem2N 35769
Description: Lemma for pl42N 35772. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pl42lem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pl42lem.l = (le‘𝐾)
pl42lem.j = (join‘𝐾)
pl42lem.m = (meet‘𝐾)
pl42lem.o = (oc‘𝐾)
pl42lem.f 𝐹 = (pmap‘𝐾)
pl42lem.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pl42lem2N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) + (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑊)) ∩ ((𝐹𝑌) + (𝐹𝑉)))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 𝑌) ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)))))

Proof of Theorem pl42lem2N
StepHypRef Expression
1 simpl1 1228 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
2 hllat 35153 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simpl2 1230 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → 𝑋𝐵)
5 simpl3 1232 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → 𝑌𝐵)
6 pl42lem.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 pl42lem.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
86, 7latjcl 17252 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
93, 4, 5, 8syl3anc 1477 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
10 eqid 2760 . . . . . 6 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
11 pl42lem.f . . . . . 6 𝐹 = (pmap‘𝐾)
126, 10, 11pmapssat 35548 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
131, 9, 12syl2anc 696 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
14 simpr2 1236 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → 𝑊𝐵)
156, 7latjcl 17252 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
163, 4, 14, 15syl3anc 1477 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
17 simpr3 1238 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → 𝑉𝐵)
186, 7latjcl 17252 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑉𝐵) → (𝑌 𝑉) ∈ 𝐵)
193, 5, 17, 18syl3anc 1477 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (𝑌 𝑉) ∈ 𝐵)
20 pl42lem.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
216, 20latmcl 17253 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 𝑉) ∈ 𝐵) → ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)) ∈ 𝐵)
223, 16, 19, 21syl3anc 1477 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)) ∈ 𝐵)
236, 10, 11pmapssat 35548 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉))) ⊆ (Atoms‘𝐾))
241, 22, 23syl2anc 696 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (𝐹‘((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉))) ⊆ (Atoms‘𝐾))
251, 13, 243jca 1123 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘(𝑋 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝐹‘((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉))) ⊆ (Atoms‘𝐾)))
26 pl42lem.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
276, 7, 11, 26pmapjoin 35641 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 𝑌)))
283, 4, 5, 27syl3anc 1477 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → ((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 𝑌)))
296, 7, 11, 26pmapjoin 35641 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → ((𝐹𝑋) + (𝐹𝑊)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 𝑊)))
303, 4, 14, 29syl3anc 1477 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → ((𝐹𝑋) + (𝐹𝑊)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 𝑊)))
316, 7, 11, 26pmapjoin 35641 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑉𝐵) → ((𝐹𝑌) + (𝐹𝑉)) ⊆ (𝐹‘(𝑌 𝑉)))
323, 5, 17, 31syl3anc 1477 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → ((𝐹𝑌) + (𝐹𝑉)) ⊆ (𝐹‘(𝑌 𝑉)))
33 ss2in 3983 . . . . . 6 ((((𝐹𝑋) + (𝐹𝑊)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑌) + (𝐹𝑉)) ⊆ (𝐹‘(𝑌 𝑉))) → (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑊)) ∩ ((𝐹𝑌) + (𝐹𝑉))) ⊆ ((𝐹‘(𝑋 𝑊)) ∩ (𝐹‘(𝑌 𝑉))))
3430, 32, 33syl2anc 696 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑊)) ∩ ((𝐹𝑌) + (𝐹𝑉))) ⊆ ((𝐹‘(𝑋 𝑊)) ∩ (𝐹‘(𝑌 𝑉))))
356, 20, 10, 11pmapmeet 35562 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 𝑉) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉))) = ((𝐹‘(𝑋 𝑊)) ∩ (𝐹‘(𝑌 𝑉))))
361, 16, 19, 35syl3anc 1477 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (𝐹‘((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉))) = ((𝐹‘(𝑋 𝑊)) ∩ (𝐹‘(𝑌 𝑉))))
3734, 36sseqtr4d 3783 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑊)) ∩ ((𝐹𝑌) + (𝐹𝑉))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉))))
3828, 37jca 555 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 𝑌)) ∧ (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑊)) ∩ ((𝐹𝑌) + (𝐹𝑉))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)))))
3910, 26paddss12 35608 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹‘(𝑋 𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝐹‘((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉))) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ⊆ (𝐹‘(𝑋 𝑌)) ∧ (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑊)) ∩ ((𝐹𝑌) + (𝐹𝑉))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)))) → (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) + (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑊)) ∩ ((𝐹𝑌) + (𝐹𝑉)))) ⊆ ((𝐹‘(𝑋 𝑌)) + (𝐹‘((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉))))))
4025, 38, 39sylc 65 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) + (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑊)) ∩ ((𝐹𝑌) + (𝐹𝑉)))) ⊆ ((𝐹‘(𝑋 𝑌)) + (𝐹‘((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)))))
416, 7, 11, 26pmapjoin 35641 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑋 𝑌)) + (𝐹‘((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 𝑌) ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)))))
423, 9, 22, 41syl3anc 1477 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 𝑌)) + (𝐹‘((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 𝑌) ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)))))
4340, 42sstrd 3754 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) + (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑊)) ∩ ((𝐹𝑌) + (𝐹𝑉)))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 𝑌) ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  cin 3714  wss 3715  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  lecple 16150  occoc 16151  joincjn 17145  meetcmee 17146  Latclat 17246  Atomscatm 35053  HLchlt 35140  pmapcpmap 35286  +𝑃cpadd 35584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-poset 17147  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-lat 17247  df-clat 17309  df-ats 35057  df-atl 35088  df-cvlat 35112  df-hlat 35141  df-pmap 35293  df-padd 35585
This theorem is referenced by:  pl42lem4N  35771
  Copyright terms: Public domain W3C validator