Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pl42lem4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pl42lem4N 35586
Description: Lemma for pl42N 35587. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pl42lem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pl42lem.l = (le‘𝐾)
pl42lem.j = (join‘𝐾)
pl42lem.m = (meet‘𝐾)
pl42lem.o = (oc‘𝐾)
pl42lem.f 𝐹 = (pmap‘𝐾)
pl42lem.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pl42lem4N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → ((𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊)) → (𝐹‘((((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) 𝑉)) ⊆ (𝐹‘((𝑋 𝑌) ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉))))))

Proof of Theorem pl42lem4N
StepHypRef Expression
1 pl42lem.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 pl42lem.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
3 pl42lem.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
4 pl42lem.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
5 pl42lem.o . . . . 5 = (oc‘𝐾)
6 pl42lem.f . . . . 5 𝐹 = (pmap‘𝐾)
7 pl42lem.p . . . . 5 + = (+𝑃𝐾)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7pl42lem1N 35583 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → ((𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊)) → (𝐹‘((((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) 𝑉)) = (((((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ∩ (𝐹𝑍)) + (𝐹𝑊)) ∩ (𝐹𝑉))))
983impia 1280 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → (𝐹‘((((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) 𝑉)) = (((((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ∩ (𝐹𝑍)) + (𝐹𝑊)) ∩ (𝐹𝑉)))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7pl42lem3N 35585 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (((((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ∩ (𝐹𝑍)) + (𝐹𝑊)) ∩ (𝐹𝑉)) ⊆ ((((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) + (𝐹𝑊)) ∩ (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) + (𝐹𝑉))))
11 simpl1 1084 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
12 hllat 34968 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
14 simpl2 1085 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → 𝑋𝐵)
15 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
161, 15, 6pmapsub 35372 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ (PSubSp‘𝐾))
1713, 14, 16syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (𝐹𝑋) ∈ (PSubSp‘𝐾))
18 simpl3 1086 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → 𝑌𝐵)
191, 15, 6pmapsub 35372 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵) → (𝐹𝑌) ∈ (PSubSp‘𝐾))
2013, 18, 19syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (𝐹𝑌) ∈ (PSubSp‘𝐾))
21 simpr2 1088 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → 𝑊𝐵)
221, 15, 6pmapsub 35372 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑊𝐵) → (𝐹𝑊) ∈ (PSubSp‘𝐾))
2313, 21, 22syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (𝐹𝑊) ∈ (PSubSp‘𝐾))
24 simpr3 1089 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → 𝑉𝐵)
251, 15, 6pmapsub 35372 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑉𝐵) → (𝐹𝑉) ∈ (PSubSp‘𝐾))
2613, 24, 25syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (𝐹𝑉) ∈ (PSubSp‘𝐾))
2715, 7pmodl42N 35455 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑋) ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝐹𝑌) ∈ (PSubSp‘𝐾)) ∧ ((𝐹𝑊) ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝐹𝑉) ∈ (PSubSp‘𝐾))) → ((((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) + (𝐹𝑊)) ∩ (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) + (𝐹𝑉))) = (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) + (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑊)) ∩ ((𝐹𝑌) + (𝐹𝑉)))))
2811, 17, 20, 23, 26, 27syl32anc 1374 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → ((((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) + (𝐹𝑊)) ∩ (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) + (𝐹𝑉))) = (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) + (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑊)) ∩ ((𝐹𝑌) + (𝐹𝑉)))))
291, 2, 3, 4, 5, 6, 7pl42lem2N 35584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) + (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑊)) ∩ ((𝐹𝑌) + (𝐹𝑉)))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 𝑌) ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)))))
3028, 29eqsstrd 3672 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → ((((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) + (𝐹𝑊)) ∩ (((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) + (𝐹𝑉))) ⊆ (𝐹‘((𝑋 𝑌) ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)))))
3110, 30sstrd 3646 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → (((((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ∩ (𝐹𝑍)) + (𝐹𝑊)) ∩ (𝐹𝑉)) ⊆ (𝐹‘((𝑋 𝑌) ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)))))
32313adant3 1101 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → (((((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ∩ (𝐹𝑍)) + (𝐹𝑊)) ∩ (𝐹𝑉)) ⊆ (𝐹‘((𝑋 𝑌) ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)))))
339, 32eqsstrd 3672 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵) ∧ (𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊))) → (𝐹‘((((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) 𝑉)) ⊆ (𝐹‘((𝑋 𝑌) ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉)))))
34333expia 1286 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵𝑉𝐵)) → ((𝑋 ( 𝑌) ∧ 𝑍 ( 𝑊)) → (𝐹‘((((𝑋 𝑌) 𝑍) 𝑊) 𝑉)) ⊆ (𝐹‘((𝑋 𝑌) ((𝑋 𝑊) (𝑌 𝑉))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  cin 3606  wss 3607   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  occoc 15996  joincjn 16991  meetcmee 16992  Latclat 17092  HLchlt 34955  PSubSpcpsubsp 35100  pmapcpmap 35101  +𝑃cpadd 35399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-riotaBAD 34557
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-undef 7444  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-polarityN 35507  df-psubclN 35539
This theorem is referenced by:  pl42N  35587
  Copyright terms: Public domain W3C validator