Theorem pltirr 17576

Description: The "less than" relation is not reflexive. (pssirr 4080 analog.) (Contributed by NM, 7-Feb-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
pltne.s	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pltirr	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑋 < 𝑋)

Proof of Theorem pltirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2824	. 2 ⊢ 𝑋 = 𝑋
2		pltne.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3	2	pltne 17575	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑋 → 𝑋 ≠ 𝑋))
4	3	3anidm23 1417	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑋 → 𝑋 ≠ 𝑋))
5	4	necon2bd 3035	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑋 → ¬ 𝑋 < 𝑋))
6	1, 5	mpi 20	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑋 < 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019   class class class wbr 5069  ‘cfv 6358  ltcplt 17554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pr 5333

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fv 6366  df-plt 17571

This theorem is referenced by:  pospo  17586  atnlt  36453  llnnlt  36663  lplnnlt  36705  lvolnltN  36758