Theorem pltle 17573

Description: "Less than" implies "less than or equal to". (pssss 4074 analog.) (Contributed by NM, 4-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pltval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pltval.s	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pltle	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌))

Proof of Theorem pltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pltval.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		pltval.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3	1, 2	pltval 17572	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
4	3	simprbda 501	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌)
5	4	ex 415	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  lecple 16574  ltcplt 17553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fv 6365  df-plt 17570

This theorem is referenced by:  pleval2  17577  pltnlt  17580  pltn2lp  17581  plttr  17582  pospo  17585  ogrpaddlt  30720  isarchi3  30818  archirngz  30820  archiabllem2a  30825  orngsqr  30879  ornglmullt  30882  orngrmullt  30883  atnlt  36451  cvlcvr1  36477  hlrelat  36540  hlrelat3  36550  cvratlem  36559  atltcvr  36573  atlelt  36576  llnnlt  36661  lplnnle2at  36679  lplnnlt  36703  lvolnle3at  36720  lvolnltN  36756  cdlemblem  36931  cdlemb  36932  lhpexle1  37146