MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pltne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pltne 17009
Description: Less-than relation. (df-pss 3623 analog.) (Contributed by NM, 2-Dec-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
pltne.s < = (lt‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pltne ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶) → (𝑋 < 𝑌𝑋𝑌))

Proof of Theorem pltne
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 pltne.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
31, 2pltval 17007 . . 3 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑋𝑌)))
43simplbda 653 . 2 (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋𝑌)
54ex 449 1 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶) → (𝑋 < 𝑌𝑋𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  lecple 15995  ltcplt 16988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fv 5934  df-plt 17005
This theorem is referenced by:  pltirr  17010  ogrpaddlt  29846  ornglmullt  29935  orngrmullt  29936  ofldchr  29942  isarchiofld  29945  atlen0  34915  1cvratex  35077  ps-2  35082  lhpn0  35608
  Copyright terms: Public domain W3C validator