MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1ascl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1ascl 19395
Description: The univariate polynomial ring inherits the multivariate ring's scalar function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1ascl.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1ascl.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
ply1ascl 𝐴 = (algSc‘(1𝑜 mPoly 𝑅))

Proof of Theorem ply1ascl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1ascl.a . 2 𝐴 = (algSc‘𝑃)
2 eqid 2609 . . . 4 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
3 eqid 2609 . . . 4 (Scalar‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = (Scalar‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
4 ply1ascl.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
54ply1sca 19390 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
65fveq2d 6092 . . . 4 (𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
7 eqid 2609 . . . . . 6 (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
8 1on 7431 . . . . . . 7 1𝑜 ∈ On
98a1i 11 . . . . . 6 (𝑅 ∈ V → 1𝑜 ∈ On)
10 id 22 . . . . . 6 (𝑅 ∈ V → 𝑅 ∈ V)
117, 9, 10mplsca 19212 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
1211fveq2d 6092 . . . 4 (𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(1𝑜 mPoly 𝑅))))
13 eqid 2609 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠𝑃)
144, 7, 13ply1vsca 19363 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠 ‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
1514a1i 11 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠 ‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
1615oveqdr 6551 . . . 4 ((𝑅 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥( ·𝑠𝑃)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(1𝑜 mPoly 𝑅))𝑦))
17 eqid 2609 . . . . . 6 (1r𝑃) = (1r𝑃)
187, 4, 17ply1mpl1 19394 . . . . 5 (1r𝑃) = (1r‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
1918a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ V → (1r𝑃) = (1r‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
20 fvex 6098 . . . . 5 (1r𝑃) ∈ V
2120a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ V → (1r𝑃) ∈ V)
222, 3, 6, 12, 16, 19, 21asclpropd 19113 . . 3 (𝑅 ∈ V → (algSc‘𝑃) = (algSc‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
23 fvprc 6082 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → (Poly1𝑅) = ∅)
244, 23syl5eq 2655 . . . . 5 𝑅 ∈ V → 𝑃 = ∅)
25 reldmmpl 19194 . . . . . 6 Rel dom mPoly
2625ovprc2 6561 . . . . 5 𝑅 ∈ V → (1𝑜 mPoly 𝑅) = ∅)
2724, 26eqtr4d 2646 . . . 4 𝑅 ∈ V → 𝑃 = (1𝑜 mPoly 𝑅))
2827fveq2d 6092 . . 3 𝑅 ∈ V → (algSc‘𝑃) = (algSc‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
2922, 28pm2.61i 174 . 2 (algSc‘𝑃) = (algSc‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
301, 29eqtri 2631 1 𝐴 = (algSc‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  c0 3873  Oncon0 5626  cfv 5790  (class class class)co 6527  1𝑜c1o 7417  Basecbs 15641  Scalarcsca 15717   ·𝑠 cvsca 15718  1rcur 18270  algSccascl 19078   mPoly cmpl 19120  Poly1cpl1 19314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-fz 12153  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-tset 15733  df-ple 15734  df-0g 15871  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ascl 19081  df-psr 19123  df-mpl 19125  df-opsr 19127  df-psr1 19317  df-ply1 19319
This theorem is referenced by:  subrg1ascl  19396  subrg1asclcl  19397  evls1sca  19455  evl1sca  19465  pf1ind  19486  deg1le0  23592
  Copyright terms: Public domain W3C validator