MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1coefsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1coefsupp 19429
Description: The decomposition of a univariate polynomial is finitely supported. Formerly part of proof for ply1coe 19430. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by AV, 8-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1coefsupp.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1coefsupp.x 𝑋 = (var1𝑅)
ply1coefsupp.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1coefsupp.n · = ( ·𝑠𝑃)
ply1coefsupp.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
ply1coefsupp.e = (.g𝑀)
ply1coefsupp.a 𝐴 = (coe1𝐾)
Assertion
Ref Expression
ply1coefsupp ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑘 𝑋))) finSupp (0g𝑃))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐾   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   · ,𝑘
Allowed substitution hints:   (𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem ply1coefsupp
StepHypRef Expression
1 ply1coefsupp.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑃)
2 eqid 2606 . 2 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
3 ply1coefsupp.n . 2 · = ( ·𝑠𝑃)
4 ply1coefsupp.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
54ply1lmod 19386 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
65adantr 479 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵) → 𝑃 ∈ LMod)
7 nn0ex 11142 . . 3 0 ∈ V
87a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵) → ℕ0 ∈ V)
94ply1ring 19382 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
10 ply1coefsupp.m . . . . . 6 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
1110ringmgp 18319 . . . . 5 (𝑃 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
129, 11syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
1312ad2antrr 757 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ Mnd)
14 simpr 475 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
15 ply1coefsupp.x . . . . 5 𝑋 = (var1𝑅)
1615, 4, 1vr1cl 19351 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
1716ad2antrr 757 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐵)
1810, 1mgpbas 18261 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑀)
19 ply1coefsupp.e . . . 4 = (.g𝑀)
2018, 19mulgnn0cl 17324 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑘 𝑋) ∈ 𝐵)
2113, 14, 17, 20syl3anc 1317 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 𝑋) ∈ 𝐵)
22 ply1coefsupp.a . . . 4 𝐴 = (coe1𝐾)
23 eqid 2606 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2422, 1, 4, 23coe1f 19345 . . 3 (𝐾𝐵𝐴:ℕ0⟶(Base‘𝑅))
2524adantl 480 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶(Base‘𝑅))
26 eqid 2606 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
2722, 1, 4, 26coe1sfi 19347 . . . 4 (𝐾𝐵𝐴 finSupp (0g𝑅))
2827adantl 480 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵) → 𝐴 finSupp (0g𝑅))
294ply1sca 19387 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
3029eqcomd 2612 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
3130adantr 479 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
3231fveq2d 6089 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑃)) = (0g𝑅))
3328, 32breqtrrd 4602 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵) → 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑃)))
341, 2, 3, 6, 8, 21, 25, 33mptscmfsuppd 18695 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑘 𝑋))) finSupp (0g𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3169   class class class wbr 4574  cmpt 4634  wf 5783  cfv 5787  (class class class)co 6524   finSupp cfsupp 8132  0cn0 11136  Basecbs 15638  Scalarcsca 15714   ·𝑠 cvsca 15715  0gc0g 15866  Mndcmnd 17060  .gcmg 17306  mulGrpcmgp 18255  Ringcrg 18313  LModclmod 18629  var1cv1 19310  Poly1cpl1 19311  coe1cco1 19312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-iin 4449  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-of 6769  df-ofr 6770  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-supp 7157  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-2o 7422  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-pm 7721  df-ixp 7769  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fsupp 8133  df-oi 8272  df-card 8622  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-9 10930  df-n0 11137  df-z 11208  df-dec 11323  df-uz 11517  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-seq 12616  df-hash 12932  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-sca 15727  df-vsca 15728  df-tset 15730  df-ple 15731  df-0g 15868  df-gsum 15869  df-mre 16012  df-mrc 16013  df-acs 16015  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-mhm 17101  df-submnd 17102  df-grp 17191  df-minusg 17192  df-sbg 17193  df-mulg 17307  df-subg 17357  df-ghm 17424  df-cntz 17516  df-cmn 17961  df-abl 17962  df-mgp 18256  df-ur 18268  df-ring 18315  df-subrg 18544  df-lmod 18631  df-lss 18697  df-psr 19120  df-mvr 19121  df-mpl 19122  df-opsr 19124  df-psr1 19314  df-vr1 19315  df-ply1 19316  df-coe1 19317
This theorem is referenced by:  ply1coe  19430
  Copyright terms: Public domain W3C validator