Theorem ply1coefsupp 20457

Description: The decomposition of a univariate polynomial is finitely supported. Formerly part of proof for ply1coe 20458. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by AV, 8-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1coefsupp.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1coefsupp.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1coefsupp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1coefsupp.n	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1coefsupp.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
ply1coefsupp.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
ply1coefsupp.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ply1coefsupp	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐾   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   · ,𝑘

Allowed substitution hints:   ↑ (𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem ply1coefsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1coefsupp.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2821	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
3		ply1coefsupp.n	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
4		ply1coefsupp.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1lmod 20414	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
6	5	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ LMod)
7		nn0ex 11897	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
9	4	ply1ring 20410	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
10		ply1coefsupp.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
11	10	ringmgp 19297	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
13	12	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ Mnd)
14		simpr 487	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
15		ply1coefsupp.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
16	15, 4, 1	vr1cl 20379	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	16	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
18	10, 1	mgpbas 19239	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
19		ply1coefsupp.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
20	18, 19	mulgnn0cl 18238	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
21	13, 14, 17, 20	syl3anc 1367	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
22		ply1coefsupp.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
23		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24	22, 1, 4, 23	coe1f 20373	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐵 → 𝐴:ℕ0⟶(Base‘𝑅))
25	24	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶(Base‘𝑅))
26		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
27	22, 1, 4, 26	coe1sfi 20375	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐵 → 𝐴 finSupp (0g‘𝑅))
28	27	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → 𝐴 finSupp (0g‘𝑅))
29	4	ply1sca 20415	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
30	29	eqcomd 2827	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
31	30	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
32	31	fveq2d 6668	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑃)) = (0g‘𝑅))
33	28, 32	breqtrrd 5086	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → 𝐴 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑃)))
34	1, 2, 3, 6, 8, 21, 25, 33	mptscmfsuppd 19694	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494   class class class wbr 5058   ↦ cmpt 5138  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   finSupp cfsupp 8827  ℕ₀cn0 11891  Basecbs 16477  Scalarcsca 16562   ·_𝑠 cvsca 16563  0_gc0g 16707  Mndcmnd 17905  ._gcmg 18218  mulGrpcmgp 19233  Ringcrg 19291  LModclmod 19628  var₁cv1 20338  Poly₁cpl1 20339  coe₁cco1 20340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-hash 13685  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-tset 16578  df-ple 16579  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mulg 18219  df-subg 18270  df-ghm 18350  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-subrg 19527  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-psr 20130  df-mvr 20131  df-mpl 20132  df-opsr 20134  df-psr1 20342  df-vr1 20343  df-ply1 20344  df-coe1 20345

This theorem is referenced by:  ply1coe  20458