Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1divalg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1divalg2 23802
 Description: Reverse the order of multiplication in ply1divalg 23801 via the opposite ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1divalg.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
ply1divalg.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1divalg.m = (-g𝑃)
ply1divalg.z 0 = (0g𝑃)
ply1divalg.t = (.r𝑃)
ply1divalg.r1 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg.f (𝜑𝐹𝐵)
ply1divalg.g1 (𝜑𝐺𝐵)
ply1divalg.g2 (𝜑𝐺0 )
ply1divalg.g3 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝑈)
ply1divalg.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1divalg2 (𝜑 → ∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝑞 𝐺))) < (𝐷𝐺))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑞   𝐵,𝑞   𝐷,𝑞   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   ,𝑞   𝑃,𝑞   𝑅,𝑞   ,𝑞   0 ,𝑞
Allowed substitution hint:   𝑈(𝑞)

Proof of Theorem ply1divalg2
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . 3 (Poly1‘(oppr𝑅)) = (Poly1‘(oppr𝑅))
2 ply1divalg.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
3 eqidd 2622 . . . . . 6 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
4 eqid 2621 . . . . . . . 8 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
5 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
64, 5opprbas 18550 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr𝑅))
76a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr𝑅)))
8 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (+g𝑅) = (+g𝑅)
94, 8oppradd 18551 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g‘(oppr𝑅))
109oveqi 6617 . . . . . . 7 (𝑞(+g𝑅)𝑟) = (𝑞(+g‘(oppr𝑅))𝑟)
1110a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑞(+g𝑅)𝑟) = (𝑞(+g‘(oppr𝑅))𝑟))
123, 7, 11deg1propd 23750 . . . . 5 (⊤ → ( deg1𝑅) = ( deg1 ‘(oppr𝑅)))
1312trud 1490 . . . 4 ( deg1𝑅) = ( deg1 ‘(oppr𝑅))
142, 13eqtri 2643 . . 3 𝐷 = ( deg1 ‘(oppr𝑅))
15 ply1divalg.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
16 ply1divalg.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
1716fveq2i 6151 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘(Poly1𝑅))
183, 7, 11ply1baspropd 19532 . . . . . 6 (⊤ → (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1‘(oppr𝑅))))
1918trud 1490 . . . . 5 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
2017, 19eqtri 2643 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
2115, 20eqtri 2643 . . 3 𝐵 = (Base‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
22 ply1divalg.m . . . 4 = (-g𝑃)
2320a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (Base‘𝑃) = (Base‘(Poly1‘(oppr𝑅))))
2416fveq2i 6151 . . . . . . . 8 (+g𝑃) = (+g‘(Poly1𝑅))
253, 7, 11ply1plusgpropd 19533 . . . . . . . . 9 (⊤ → (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘(Poly1‘(oppr𝑅))))
2625trud 1490 . . . . . . . 8 (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
2724, 26eqtri 2643 . . . . . . 7 (+g𝑃) = (+g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
2827a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (+g𝑃) = (+g‘(Poly1‘(oppr𝑅))))
2923, 28grpsubpropd 17441 . . . . 5 (⊤ → (-g𝑃) = (-g‘(Poly1‘(oppr𝑅))))
3029trud 1490 . . . 4 (-g𝑃) = (-g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
3122, 30eqtri 2643 . . 3 = (-g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
32 ply1divalg.z . . . 4 0 = (0g𝑃)
3315a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝐵 = (Base‘𝑃))
3421a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝐵 = (Base‘(Poly1‘(oppr𝑅))))
3527oveqi 6617 . . . . . . 7 (𝑞(+g𝑃)𝑟) = (𝑞(+g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑟)
3635a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝑞(+g𝑃)𝑟) = (𝑞(+g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑟))
3733, 34, 36grpidpropd 17182 . . . . 5 (⊤ → (0g𝑃) = (0g‘(Poly1‘(oppr𝑅))))
3837trud 1490 . . . 4 (0g𝑃) = (0g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
3932, 38eqtri 2643 . . 3 0 = (0g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
40 eqid 2621 . . 3 (.r‘(Poly1‘(oppr𝑅))) = (.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
41 ply1divalg.r1 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
424opprring 18552 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (oppr𝑅) ∈ Ring)
4341, 42syl 17 . . 3 (𝜑 → (oppr𝑅) ∈ Ring)
44 ply1divalg.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
45 ply1divalg.g1 . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
46 ply1divalg.g2 . . 3 (𝜑𝐺0 )
47 ply1divalg.g3 . . 3 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝑈)
48 ply1divalg.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4948, 4opprunit 18582 . . 3 𝑈 = (Unit‘(oppr𝑅))
501, 14, 21, 31, 39, 40, 43, 44, 45, 46, 47, 49ply1divalg 23801 . 2 (𝜑 → ∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞))) < (𝐷𝐺))
5141adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
5245adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐵) → 𝐺𝐵)
53 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐵) → 𝑞𝐵)
54 ply1divalg.t . . . . . . . . 9 = (.r𝑃)
5516, 4, 1, 54, 40, 15ply1opprmul 19528 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝑞𝐵) → (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞) = (𝑞 𝐺))
5651, 52, 53, 55syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐵) → (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞) = (𝑞 𝐺))
5756eqcomd 2627 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐵) → (𝑞 𝐺) = (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞))
5857oveq2d 6620 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐵) → (𝐹 (𝑞 𝐺)) = (𝐹 (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞)))
5958fveq2d 6152 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐵) → (𝐷‘(𝐹 (𝑞 𝐺))) = (𝐷‘(𝐹 (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞))))
6059breq1d 4623 . . 3 ((𝜑𝑞𝐵) → ((𝐷‘(𝐹 (𝑞 𝐺))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹 (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞))) < (𝐷𝐺)))
6160reubidva 3114 . 2 (𝜑 → (∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝑞 𝐺))) < (𝐷𝐺) ↔ ∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞))) < (𝐷𝐺)))
6250, 61mpbird 247 1 (𝜑 → ∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝑞 𝐺))) < (𝐷𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480  ⊤wtru 1481   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∃!wreu 2909   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   < clt 10018  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  .rcmulr 15863  0gc0g 16021  -gcsg 17345  Ringcrg 18468  opprcoppr 18543  Unitcui 18560  Poly1cpl1 19466  coe1cco1 19467   deg1 cdg1 23718 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-ofr 6851  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-rlreg 19202  df-psr 19275  df-mvr 19276  df-mpl 19277  df-opsr 19279  df-psr1 19469  df-vr1 19470  df-ply1 19471  df-coe1 19472  df-cnfld 19666  df-mdeg 23719  df-deg1 23720 This theorem is referenced by:  q1peqb  23818
 Copyright terms: Public domain W3C validator