MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1divmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1divmo 23806
Description: Uniqueness of a quotient in a polynomial division. For polynomials 𝐹, 𝐺 such that 𝐺 ≠ 0 and the leading coefficient of 𝐺 is not a zero divisor, there is at most one polynomial 𝑞 which satisfies 𝐹 = (𝐺 · 𝑞) + 𝑟 where the degree of 𝑟 is less than the degree of 𝐺. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1divalg.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
ply1divalg.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1divalg.m = (-g𝑃)
ply1divalg.z 0 = (0g𝑃)
ply1divalg.t = (.r𝑃)
ply1divalg.r1 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg.f (𝜑𝐹𝐵)
ply1divalg.g1 (𝜑𝐺𝐵)
ply1divalg.g2 (𝜑𝐺0 )
ply1divmo.g3 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝐸)
ply1divmo.e 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1divmo (𝜑 → ∃*𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑞   𝐵,𝑞   𝐷,𝑞   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   ,𝑞   ,𝑞
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑞)   𝑅(𝑞)   𝐸(𝑞)   0 (𝑞)

Proof of Theorem ply1divmo
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1divalg.r1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
21adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
3 ply1divalg.p . . . . . . . . . . . . 13 𝑃 = (Poly1𝑅)
43ply1ring 19540 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
6 ringgrp 18476 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
8 ply1divalg.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹𝐵)
98adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝐹𝐵)
10 ply1divalg.g1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺𝐵)
1110adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝐺𝐵)
12 simprl 793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑞𝐵)
13 ply1divalg.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘𝑃)
14 ply1divalg.t . . . . . . . . . . . . 13 = (.r𝑃)
1513, 14ringcl 18485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝑞𝐵) → (𝐺 𝑞) ∈ 𝐵)
165, 11, 12, 15syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐺 𝑞) ∈ 𝐵)
17 ply1divalg.m . . . . . . . . . . . 12 = (-g𝑃)
1813, 17grpsubcl 17419 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵 ∧ (𝐺 𝑞) ∈ 𝐵) → (𝐹 (𝐺 𝑞)) ∈ 𝐵)
197, 9, 16, 18syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐹 (𝐺 𝑞)) ∈ 𝐵)
20 simprr 795 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑟𝐵)
2113, 14ringcl 18485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝑟𝐵) → (𝐺 𝑟) ∈ 𝐵)
225, 11, 20, 21syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐺 𝑟) ∈ 𝐵)
2313, 17grpsubcl 17419 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵 ∧ (𝐺 𝑟) ∈ 𝐵) → (𝐹 (𝐺 𝑟)) ∈ 𝐵)
247, 9, 22, 23syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐹 (𝐺 𝑟)) ∈ 𝐵)
2513, 17grpsubcl 17419 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Grp ∧ (𝐹 (𝐺 𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹 (𝐺 𝑟)) ∈ 𝐵) → ((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟))) ∈ 𝐵)
267, 19, 24, 25syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟))) ∈ 𝐵)
27 ply1divalg.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = ( deg1𝑅)
2827, 3, 13deg1xrcl 23753 . . . . . . . . 9 (((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟))) ∈ 𝐵 → (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ∈ ℝ*)
2926, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ∈ ℝ*)
3027, 3, 13deg1xrcl 23753 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 (𝐺 𝑟)) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) ∈ ℝ*)
3124, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) ∈ ℝ*)
3227, 3, 13deg1xrcl 23753 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 (𝐺 𝑞)) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ∈ ℝ*)
3319, 32syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ∈ ℝ*)
3431, 33ifcld 4105 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) ∈ ℝ*)
3527, 3, 13deg1xrcl 23753 . . . . . . . . 9 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
3611, 35syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
3729, 34, 363jca 1240 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝐺) ∈ ℝ*))
3837adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ ((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺))) → ((𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝐺) ∈ ℝ*))
393, 27, 2, 13, 17, 19, 24deg1suble 23778 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ≤ if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))))
4039adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ ((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺))) → (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ≤ if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))))
41 xrmaxlt 11958 . . . . . . . . 9 (((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝐺) ∈ ℝ*) → (if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) < (𝐷𝐺) ↔ ((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺))))
4233, 31, 36, 41syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) < (𝐷𝐺) ↔ ((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺))))
4342biimpar 502 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ ((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺))) → if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) < (𝐷𝐺))
4440, 43jca 554 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ ((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺))) → ((𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ≤ if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) ∧ if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) < (𝐷𝐺)))
45 xrlelttr 11934 . . . . . 6 (((𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝐺) ∈ ℝ*) → (((𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ≤ if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) ∧ if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) < (𝐷𝐺)) → (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) < (𝐷𝐺)))
4638, 44, 45sylc 65 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ ((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺))) → (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) < (𝐷𝐺))
4746ex 450 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)) → (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) < (𝐷𝐺)))
48 ply1divalg.g2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺0 )
49 ply1divalg.z . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (0g𝑃)
5027, 3, 49, 13deg1nn0cl 23759 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝐺0 ) → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
511, 10, 48, 50syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
5251ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
5352nn0red 11299 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝐷𝐺) ∈ ℝ)
541ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝑅 ∈ Ring)
5513, 17grpsubcl 17419 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑟𝐵𝑞𝐵) → (𝑟 𝑞) ∈ 𝐵)
567, 20, 12, 55syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝑟 𝑞) ∈ 𝐵)
5756adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝑟 𝑞) ∈ 𝐵)
5813, 49, 17grpsubeq0 17425 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑟𝐵𝑞𝐵) → ((𝑟 𝑞) = 0𝑟 = 𝑞))
597, 20, 12, 58syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝑟 𝑞) = 0𝑟 = 𝑞))
60 equcom 1942 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑞𝑞 = 𝑟)
6159, 60syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝑟 𝑞) = 0𝑞 = 𝑟))
6261necon3bid 2834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝑟 𝑞) ≠ 0𝑞𝑟))
6362biimpar 502 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝑟 𝑞) ≠ 0 )
6427, 3, 49, 13deg1nn0cl 23759 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑟 𝑞) ∈ 𝐵 ∧ (𝑟 𝑞) ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝑟 𝑞)) ∈ ℕ0)
6554, 57, 63, 64syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝐷‘(𝑟 𝑞)) ∈ ℕ0)
66 nn0addge1 11286 . . . . . . . . . 10 (((𝐷𝐺) ∈ ℝ ∧ (𝐷‘(𝑟 𝑞)) ∈ ℕ0) → (𝐷𝐺) ≤ ((𝐷𝐺) + (𝐷‘(𝑟 𝑞))))
6753, 65, 66syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝐷𝐺) ≤ ((𝐷𝐺) + (𝐷‘(𝑟 𝑞))))
68 ply1divmo.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
6910ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝐺𝐵)
7048ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝐺0 )
71 ply1divmo.g3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝐸)
7271ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝐸)
7327, 3, 68, 13, 14, 49, 54, 69, 70, 72, 57, 63deg1mul2 23785 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝐷‘(𝐺 (𝑟 𝑞))) = ((𝐷𝐺) + (𝐷‘(𝑟 𝑞))))
7467, 73breqtrrd 4643 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝐷𝐺) ≤ (𝐷‘(𝐺 (𝑟 𝑞))))
75 ringabl 18504 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Abel)
765, 75syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑃 ∈ Abel)
7713, 17, 76, 9, 16, 22ablnnncan1 18153 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟))) = ((𝐺 𝑟) (𝐺 𝑞)))
7813, 14, 17, 5, 11, 20, 12ringsubdi 18523 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐺 (𝑟 𝑞)) = ((𝐺 𝑟) (𝐺 𝑞)))
7977, 78eqtr4d 2658 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟))) = (𝐺 (𝑟 𝑞)))
8079fveq2d 6154 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) = (𝐷‘(𝐺 (𝑟 𝑞))))
8180adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) = (𝐷‘(𝐺 (𝑟 𝑞))))
8274, 81breqtrrd 4643 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝐷𝐺) ≤ (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))))
83 xrlenlt 10050 . . . . . . . . 9 (((𝐷𝐺) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐺) ≤ (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ↔ ¬ (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) < (𝐷𝐺)))
8436, 29, 83syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝐷𝐺) ≤ (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ↔ ¬ (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) < (𝐷𝐺)))
8584adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → ((𝐷𝐺) ≤ (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ↔ ¬ (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) < (𝐷𝐺)))
8682, 85mpbid 222 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → ¬ (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) < (𝐷𝐺))
8786ex 450 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝑞𝑟 → ¬ (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) < (𝐷𝐺)))
8887necon4ad 2809 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) < (𝐷𝐺) → 𝑞 = 𝑟))
8947, 88syld 47 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)) → 𝑞 = 𝑟))
9089ralrimivva 2965 . 2 (𝜑 → ∀𝑞𝐵𝑟𝐵 (((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)) → 𝑞 = 𝑟))
91 oveq2 6615 . . . . . 6 (𝑞 = 𝑟 → (𝐺 𝑞) = (𝐺 𝑟))
9291oveq2d 6623 . . . . 5 (𝑞 = 𝑟 → (𝐹 (𝐺 𝑞)) = (𝐹 (𝐺 𝑟)))
9392fveq2d 6154 . . . 4 (𝑞 = 𝑟 → (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) = (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))))
9493breq1d 4625 . . 3 (𝑞 = 𝑟 → ((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)))
9594rmo4 3382 . 2 (∃*𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ↔ ∀𝑞𝐵𝑟𝐵 (((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)) → 𝑞 = 𝑟))
9690, 95sylibr 224 1 (𝜑 → ∃*𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  ∃*wrmo 2910  ifcif 4060   class class class wbr 4615  cfv 5849  (class class class)co 6607  cr 9882   + caddc 9886  *cxr 10020   < clt 10021  cle 10022  0cn0 11239  Basecbs 15784  .rcmulr 15866  0gc0g 16024  Grpcgrp 17346  -gcsg 17348  Abelcabl 18118  Ringcrg 18471  RLRegcrlreg 19201  Poly1cpl1 19469  coe1cco1 19470   deg1 cdg1 23725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961  ax-addf 9962  ax-mulf 9963
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-ofr 6854  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7244  df-tpos 7300  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-pm 7808  df-ixp 7856  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fsupp 8223  df-sup 8295  df-oi 8362  df-card 8712  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-seq 12745  df-hash 13061  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-starv 15880  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-tset 15884  df-ple 15885  df-ds 15888  df-unif 15889  df-0g 16026  df-gsum 16027  df-mre 16170  df-mrc 16171  df-acs 16173  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-mhm 17259  df-submnd 17260  df-grp 17349  df-minusg 17350  df-sbg 17351  df-mulg 17465  df-subg 17515  df-ghm 17582  df-cntz 17674  df-cmn 18119  df-abl 18120  df-mgp 18414  df-ur 18426  df-ring 18473  df-cring 18474  df-oppr 18547  df-dvdsr 18565  df-unit 18566  df-invr 18596  df-subrg 18702  df-lmod 18789  df-lss 18855  df-rlreg 19205  df-psr 19278  df-mpl 19280  df-opsr 19282  df-psr1 19472  df-ply1 19474  df-coe1 19475  df-cnfld 19669  df-mdeg 23726  df-deg1 23727
This theorem is referenced by:  ply1divalg  23808
  Copyright terms: Public domain W3C validator