Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1domn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1domn 23787
 Description: Corollary of deg1mul2 23778: the univariate polynomials over a domain are a domain. This is true for multivariate but with a much more complicated proof. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1domn.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1domn (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)

Proof of Theorem ply1domn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnnzr 19214 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2 ply1domn.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
32ply1nz 23785 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
41, 3syl 17 . 2 (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ NzRing)
5 neanior 2882 . . . . 5 ((𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃)) ↔ ¬ (𝑥 = (0g𝑃) ∨ 𝑦 = (0g𝑃)))
6 eqid 2621 . . . . . . . . 9 ( deg1𝑅) = ( deg1𝑅)
7 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
8 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
9 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (.r𝑃) = (.r𝑃)
10 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (0g𝑃) = (0g𝑃)
11 domnring 19215 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
1211ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → 𝑅 ∈ Ring)
13 simplrl 799 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
14 simprl 793 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → 𝑥 ≠ (0g𝑃))
15 simpll 789 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → 𝑅 ∈ Domn)
16 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (coe1𝑥) = (coe1𝑥)
176, 2, 10, 8, 7, 16deg1ldgdomn 23758 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑃)) → ((coe1𝑥)‘(( deg1𝑅)‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
1815, 13, 14, 17syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → ((coe1𝑥)‘(( deg1𝑅)‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
19 simplrr 800 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))
20 simprr 795 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → 𝑦 ≠ (0g𝑃))
216, 2, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 18, 19, 20deg1mul2 23778 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → (( deg1𝑅)‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = ((( deg1𝑅)‘𝑥) + (( deg1𝑅)‘𝑦)))
226, 2, 10, 8deg1nn0cl 23752 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑃)) → (( deg1𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
2312, 13, 14, 22syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → (( deg1𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
246, 2, 10, 8deg1nn0cl 23752 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃)) → (( deg1𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
2512, 19, 20, 24syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → (( deg1𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
2623, 25nn0addcld 11299 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → ((( deg1𝑅)‘𝑥) + (( deg1𝑅)‘𝑦)) ∈ ℕ0)
2721, 26eqeltrd 2698 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → (( deg1𝑅)‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0)
282ply1ring 19537 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
2911, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
3029ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → 𝑃 ∈ Ring)
318, 9ringcl 18482 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
3230, 13, 19, 31syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
336, 2, 10, 8deg1nn0clb 23754 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ (0g𝑃) ↔ (( deg1𝑅)‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
3412, 32, 33syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → ((𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ (0g𝑃) ↔ (( deg1𝑅)‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
3527, 34mpbird 247 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ (0g𝑃))
3635ex 450 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃)) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ (0g𝑃)))
375, 36syl5bir 233 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (¬ (𝑥 = (0g𝑃) ∨ 𝑦 = (0g𝑃)) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ (0g𝑃)))
3837necon4bd 2810 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑥(.r𝑃)𝑦) = (0g𝑃) → (𝑥 = (0g𝑃) ∨ 𝑦 = (0g𝑃))))
3938ralrimivva 2965 . 2 (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑃)((𝑥(.r𝑃)𝑦) = (0g𝑃) → (𝑥 = (0g𝑃) ∨ 𝑦 = (0g𝑃))))
408, 9, 10isdomn 19213 . 2 (𝑃 ∈ Domn ↔ (𝑃 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑃)((𝑥(.r𝑃)𝑦) = (0g𝑃) → (𝑥 = (0g𝑃) ∨ 𝑦 = (0g𝑃)))))
414, 39, 40sylanbrc 697 1 (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   + caddc 9883  ℕ0cn0 11236  Basecbs 15781  .rcmulr 15863  0gc0g 16021  Ringcrg 18468  NzRingcnzr 19176  RLRegcrlreg 19198  Domncdomn 19199  Poly1cpl1 19466  coe1cco1 19467   deg1 cdg1 23718 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-ofr 6851  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-nzr 19177  df-rlreg 19202  df-domn 19203  df-ascl 19233  df-psr 19275  df-mvr 19276  df-mpl 19277  df-opsr 19279  df-psr1 19469  df-vr1 19470  df-ply1 19471  df-coe1 19472  df-cnfld 19666  df-mdeg 23719  df-deg1 23720 This theorem is referenced by:  ply1idom  23788  deg1mhm  37263
 Copyright terms: Public domain W3C validator