MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1lmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1lmod 19844
Description: Univariate polynomials form a left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1lmod.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1lmod (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)

Proof of Theorem ply1lmod
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . 3 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
21psr1lmod 19841 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (PwSer1𝑅) ∈ LMod)
3 eqid 2760 . . . 4 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
4 eqid 2760 . . . 4 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
53, 1, 4ply1bas 19787 . . 3 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
63, 1, 4ply1lss 19788 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(Poly1𝑅)) ∈ (LSubSp‘(PwSer1𝑅)))
75, 6syl5eqelr 2844 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) ∈ (LSubSp‘(PwSer1𝑅)))
8 ply1lmod.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
98, 1ply1val 19786 . . 3 𝑃 = ((PwSer1𝑅) ↾s (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
10 eqid 2760 . . 3 (LSubSp‘(PwSer1𝑅)) = (LSubSp‘(PwSer1𝑅))
119, 10lsslmod 19182 . 2 (((PwSer1𝑅) ∈ LMod ∧ (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) ∈ (LSubSp‘(PwSer1𝑅))) → 𝑃 ∈ LMod)
122, 7, 11syl2anc 696 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  cfv 6049  (class class class)co 6814  1𝑜c1o 7723  Basecbs 16079  Ringcrg 18767  LModclmod 19085  LSubSpclss 19154   mPoly cmpl 19575  PwSer1cps1 19767  Poly1cpl1 19769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-tset 16182  df-ple 16183  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-subg 17812  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-psr 19578  df-mpl 19580  df-opsr 19582  df-psr1 19772  df-ply1 19774
This theorem is referenced by:  ply10s0  19848  ply1tmcl  19864  coe1pwmul  19871  ply1sclf  19877  ply1scl0  19882  ply1scl1  19884  ply1idvr1  19885  ply1coefsupp  19887  ply1coe  19888  cply1coe0bi  19892  gsumsmonply1  19895  gsummoncoe1  19896  lply1binomsc  19899  evls1sca  19910  evl1scvarpw  19949  evl1gsummon  19951  cpmatacl  20743  cpmatinvcl  20744  mat2pmatbas  20753  mat2pmatghm  20757  mat2pmatmul  20758  decpmatid  20797  pmatcollpwscmatlem1  20816  pm2mpcl  20824  idpm2idmp  20828  mply1topmatcllem  20830  mply1topmatcl  20832  mp2pm2mplem4  20836  mp2pm2mplem5  20837  pm2mpghmlem2  20839  pm2mpghm  20843  pm2mpmhmlem1  20845  pm2mpmhmlem2  20846  monmat2matmon  20851  chpscmat  20869  chpscmatgsumbin  20871  chpscmatgsummon  20872  deg1invg  24085  deg1pwle  24098  deg1pw  24099  ply1remlem  24141  plypf1  24187  ply1vr1smo  42697  ply1mulgsumlem4  42705  ply1mulgsum  42706
  Copyright terms: Public domain W3C validator