Theorem ply1lmod 20414

Description: Univariate polynomials form a left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1lmod.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1lmod	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)

Proof of Theorem ply1lmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1lmod 20411	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (PwSer1‘𝑅) ∈ LMod)
3		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
5	3, 1, 4	ply1bas 20357	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
6	3, 1, 4	ply1lss 20358	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∈ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)))
7	5, 6	eqeltrrid 2918	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)))
8		ply1lmod.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
9	8, 1	ply1val 20356	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
10		eqid 2821	. . 3 ⊢ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)) = (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅))
11	9, 10	lsslmod 19726	. 2 ⊢ (((PwSer1‘𝑅) ∈ LMod ∧ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅))) → 𝑃 ∈ LMod)
12	2, 7, 11	syl2anc 586	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  1_oc1o 8089  Basecbs 16477  Ringcrg 19291  LModclmod 19628  LSubSpclss 19697   mPoly cmpl 20127  PwSer₁cps1 20337  Poly₁cpl1 20339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12887  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-tset 16578  df-ple 16579  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18270  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-psr 20130  df-mpl 20132  df-opsr 20134  df-psr1 20342  df-ply1 20344

This theorem is referenced by:  ply10s0  20418  ply1tmcl  20434  coe1pwmul  20441  ply1sclf  20447  ply1scl0  20452  ply1scl1  20454  ply1idvr1  20455  ply1coefsupp  20457  ply1coe  20458  cply1coe0bi  20462  gsumsmonply1  20465  gsummoncoe1  20466  lply1binomsc  20469  evls1sca  20480  evl1scvarpw  20520  evl1gsummon  20522  cpmatacl  21318  cpmatinvcl  21319  mat2pmatbas  21328  mat2pmatghm  21332  mat2pmatmul  21333  decpmatid  21372  pmatcollpwscmatlem1  21391  pm2mpcl  21399  idpm2idmp  21403  mply1topmatcllem  21405  mply1topmatcl  21407  mp2pm2mplem4  21411  mp2pm2mplem5  21412  pm2mpghmlem2  21414  pm2mpghm  21418  pm2mpmhmlem1  21420  pm2mpmhmlem2  21421  monmat2matmon  21426  chpscmat  21444  chpscmatgsumbin  21446  chpscmatgsummon  21447  deg1invg  24694  deg1pwle  24707  deg1pw  24708  ply1remlem  24750  plypf1  24796  ply1vr1smo  44429  ply1mulgsumlem4  44437  ply1mulgsum  44438