MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1plusgfvi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1plusgfvi 19382
Description: Protection compatibility of the univariate polynomial addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ply1plusgfvi (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅)))

Proof of Theorem ply1plusgfvi
StepHypRef Expression
1 fvi 6150 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
21fveq2d 6092 . . . 4 (𝑅 ∈ V → (Poly1‘( I ‘𝑅)) = (Poly1𝑅))
32fveq2d 6092 . . 3 (𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1𝑅)))
4 eqid 2610 . . . . . 6 (Poly1‘∅) = (Poly1‘∅)
5 eqid 2610 . . . . . 6 (1𝑜 mPoly ∅) = (1𝑜 mPoly ∅)
6 eqid 2610 . . . . . 6 (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘(Poly1‘∅))
74, 5, 6ply1plusg 19365 . . . . 5 (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘(1𝑜 mPoly ∅))
8 eqid 2610 . . . . . . 7 (1𝑜 mPwSer ∅) = (1𝑜 mPwSer ∅)
9 eqid 2610 . . . . . . 7 (+g‘(1𝑜 mPoly ∅)) = (+g‘(1𝑜 mPoly ∅))
105, 8, 9mplplusg 19360 . . . . . 6 (+g‘(1𝑜 mPoly ∅)) = (+g‘(1𝑜 mPwSer ∅))
11 base0 15689 . . . . . . . . . 10 ∅ = (Base‘∅)
12 psr1baslem 19325 . . . . . . . . . 10 (ℕ0𝑚 1𝑜) = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
13 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (Base‘(1𝑜 mPwSer ∅)) = (Base‘(1𝑜 mPwSer ∅))
14 1on 7432 . . . . . . . . . . 11 1𝑜 ∈ On
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 1𝑜 ∈ On)
168, 11, 12, 13, 15psrbas 19148 . . . . . . . . 9 (⊤ → (Base‘(1𝑜 mPwSer ∅)) = (∅ ↑𝑚 (ℕ0𝑚 1𝑜)))
1716trud 1484 . . . . . . . 8 (Base‘(1𝑜 mPwSer ∅)) = (∅ ↑𝑚 (ℕ0𝑚 1𝑜))
18 0nn0 11157 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
1918fconst6 5993 . . . . . . . . . 10 (1𝑜 × {0}):1𝑜⟶ℕ0
20 nn0ex 11148 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
2114elexi 3186 . . . . . . . . . . 11 1𝑜 ∈ V
2220, 21elmap 7750 . . . . . . . . . 10 ((1𝑜 × {0}) ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↔ (1𝑜 × {0}):1𝑜⟶ℕ0)
2319, 22mpbir 220 . . . . . . . . 9 (1𝑜 × {0}) ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)
24 ne0i 3880 . . . . . . . . 9 ((1𝑜 × {0}) ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → (ℕ0𝑚 1𝑜) ≠ ∅)
25 map0b 7760 . . . . . . . . 9 ((ℕ0𝑚 1𝑜) ≠ ∅ → (∅ ↑𝑚 (ℕ0𝑚 1𝑜)) = ∅)
2623, 24, 25mp2b 10 . . . . . . . 8 (∅ ↑𝑚 (ℕ0𝑚 1𝑜)) = ∅
2717, 26eqtr2i 2633 . . . . . . 7 ∅ = (Base‘(1𝑜 mPwSer ∅))
28 eqid 2610 . . . . . . 7 (+g‘∅) = (+g‘∅)
29 eqid 2610 . . . . . . 7 (+g‘(1𝑜 mPwSer ∅)) = (+g‘(1𝑜 mPwSer ∅))
308, 27, 28, 29psrplusg 19151 . . . . . 6 (+g‘(1𝑜 mPwSer ∅)) = ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ (∅ × ∅))
31 xp0 5457 . . . . . . 7 (∅ × ∅) = ∅
3231reseq2i 5301 . . . . . 6 ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ (∅ × ∅)) = ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ ∅)
3310, 30, 323eqtri 2636 . . . . 5 (+g‘(1𝑜 mPoly ∅)) = ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ ∅)
34 res0 5308 . . . . . 6 ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ ∅) = ∅
35 df-plusg 15730 . . . . . . 7 +g = Slot 2
3635str0 15688 . . . . . 6 ∅ = (+g‘∅)
3734, 36eqtri 2632 . . . . 5 ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ ∅) = (+g‘∅)
387, 33, 373eqtri 2636 . . . 4 (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘∅)
39 fvprc 6082 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = ∅)
4039fveq2d 6092 . . . . 5 𝑅 ∈ V → (Poly1‘( I ‘𝑅)) = (Poly1‘∅))
4140fveq2d 6092 . . . 4 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘∅)))
42 fvprc 6082 . . . . 5 𝑅 ∈ V → (Poly1𝑅) = ∅)
4342fveq2d 6092 . . . 4 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘∅))
4438, 41, 433eqtr4a 2670 . . 3 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1𝑅)))
453, 44pm2.61i 175 . 2 (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1𝑅))
4645eqcomi 2619 1 (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1475  wtru 1476  wcel 1977  wne 2780  Vcvv 3173  c0 3874  {csn 4125   I cid 4938   × cxp 5026  cres 5030  Oncon0 5626  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑓 cof 6771  1𝑜c1o 7418  𝑚 cmap 7722  0cc0 9793  2c2 10920  0cn0 11142  Basecbs 15644  +gcplusg 15717   mPwSer cmps 19121   mPoly cmpl 19123  Poly1cpl1 19317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-fz 12156  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-tset 15736  df-ple 15737  df-psr 19126  df-mpl 19128  df-opsr 19130  df-psr1 19320  df-ply1 19322
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator