Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1plusgfvi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1plusgfvi 19660
 Description: Protection compatibility of the univariate polynomial addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ply1plusgfvi (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅)))

Proof of Theorem ply1plusgfvi
StepHypRef Expression
1 fvi 6294 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
21fveq2d 6233 . . . 4 (𝑅 ∈ V → (Poly1‘( I ‘𝑅)) = (Poly1𝑅))
32fveq2d 6233 . . 3 (𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1𝑅)))
4 eqid 2651 . . . . . 6 (Poly1‘∅) = (Poly1‘∅)
5 eqid 2651 . . . . . 6 (1𝑜 mPoly ∅) = (1𝑜 mPoly ∅)
6 eqid 2651 . . . . . 6 (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘(Poly1‘∅))
74, 5, 6ply1plusg 19643 . . . . 5 (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘(1𝑜 mPoly ∅))
8 eqid 2651 . . . . . . 7 (1𝑜 mPwSer ∅) = (1𝑜 mPwSer ∅)
9 eqid 2651 . . . . . . 7 (+g‘(1𝑜 mPoly ∅)) = (+g‘(1𝑜 mPoly ∅))
105, 8, 9mplplusg 19638 . . . . . 6 (+g‘(1𝑜 mPoly ∅)) = (+g‘(1𝑜 mPwSer ∅))
11 base0 15959 . . . . . . . . . 10 ∅ = (Base‘∅)
12 psr1baslem 19603 . . . . . . . . . 10 (ℕ0𝑚 1𝑜) = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
13 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (Base‘(1𝑜 mPwSer ∅)) = (Base‘(1𝑜 mPwSer ∅))
14 1on 7612 . . . . . . . . . . 11 1𝑜 ∈ On
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 1𝑜 ∈ On)
168, 11, 12, 13, 15psrbas 19426 . . . . . . . . 9 (⊤ → (Base‘(1𝑜 mPwSer ∅)) = (∅ ↑𝑚 (ℕ0𝑚 1𝑜)))
1716trud 1533 . . . . . . . 8 (Base‘(1𝑜 mPwSer ∅)) = (∅ ↑𝑚 (ℕ0𝑚 1𝑜))
18 0nn0 11345 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
1918fconst6 6133 . . . . . . . . . 10 (1𝑜 × {0}):1𝑜⟶ℕ0
20 nn0ex 11336 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
2114elexi 3244 . . . . . . . . . . 11 1𝑜 ∈ V
2220, 21elmap 7928 . . . . . . . . . 10 ((1𝑜 × {0}) ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↔ (1𝑜 × {0}):1𝑜⟶ℕ0)
2319, 22mpbir 221 . . . . . . . . 9 (1𝑜 × {0}) ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)
24 ne0i 3954 . . . . . . . . 9 ((1𝑜 × {0}) ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → (ℕ0𝑚 1𝑜) ≠ ∅)
25 map0b 7938 . . . . . . . . 9 ((ℕ0𝑚 1𝑜) ≠ ∅ → (∅ ↑𝑚 (ℕ0𝑚 1𝑜)) = ∅)
2623, 24, 25mp2b 10 . . . . . . . 8 (∅ ↑𝑚 (ℕ0𝑚 1𝑜)) = ∅
2717, 26eqtr2i 2674 . . . . . . 7 ∅ = (Base‘(1𝑜 mPwSer ∅))
28 eqid 2651 . . . . . . 7 (+g‘∅) = (+g‘∅)
29 eqid 2651 . . . . . . 7 (+g‘(1𝑜 mPwSer ∅)) = (+g‘(1𝑜 mPwSer ∅))
308, 27, 28, 29psrplusg 19429 . . . . . 6 (+g‘(1𝑜 mPwSer ∅)) = ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ (∅ × ∅))
31 xp0 5587 . . . . . . 7 (∅ × ∅) = ∅
3231reseq2i 5425 . . . . . 6 ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ (∅ × ∅)) = ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ ∅)
3310, 30, 323eqtri 2677 . . . . 5 (+g‘(1𝑜 mPoly ∅)) = ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ ∅)
34 res0 5432 . . . . . 6 ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ ∅) = ∅
35 df-plusg 16001 . . . . . . 7 +g = Slot 2
3635str0 15958 . . . . . 6 ∅ = (+g‘∅)
3734, 36eqtri 2673 . . . . 5 ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ ∅) = (+g‘∅)
387, 33, 373eqtri 2677 . . . 4 (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘∅)
39 fvprc 6223 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = ∅)
4039fveq2d 6233 . . . . 5 𝑅 ∈ V → (Poly1‘( I ‘𝑅)) = (Poly1‘∅))
4140fveq2d 6233 . . . 4 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘∅)))
42 fvprc 6223 . . . . 5 𝑅 ∈ V → (Poly1𝑅) = ∅)
4342fveq2d 6233 . . . 4 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘∅))
4438, 41, 433eqtr4a 2711 . . 3 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1𝑅)))
453, 44pm2.61i 176 . 2 (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1𝑅))
4645eqcomi 2660 1 (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1523  ⊤wtru 1524   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  Vcvv 3231  ∅c0 3948  {csn 4210   I cid 5052   × cxp 5141   ↾ cres 5145  Oncon0 5761  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘𝑓 cof 6937  1𝑜c1o 7598   ↑𝑚 cmap 7899  0cc0 9974  2c2 11108  ℕ0cn0 11330  Basecbs 15904  +gcplusg 15988   mPwSer cmps 19399   mPoly cmpl 19401  Poly1cpl1 19595 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-tset 16007  df-ple 16008  df-psr 19404  df-mpl 19406  df-opsr 19408  df-psr1 19598  df-ply1 19600 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator