MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1plusgpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1plusgpropd 19377
Description: Property deduction for univariate polynomial addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1baspropd.b1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
ply1baspropd.b2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑆))
ply1baspropd.p ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑆)𝑦))
Assertion
Ref Expression
ply1plusgpropd (𝜑 → (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘(Poly1𝑆)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem ply1plusgpropd
StepHypRef Expression
1 ply1baspropd.b1 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
2 ply1baspropd.b2 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑆))
3 ply1baspropd.p . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑆)𝑦))
41, 2, 3psrplusgpropd 19369 . . 3 (𝜑 → (+g‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(1𝑜 mPwSer 𝑆)))
5 eqid 2605 . . . 4 (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
6 eqid 2605 . . . 4 (1𝑜 mPwSer 𝑅) = (1𝑜 mPwSer 𝑅)
7 eqid 2605 . . . 4 (+g‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = (+g‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
85, 6, 7mplplusg 19353 . . 3 (+g‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = (+g‘(1𝑜 mPwSer 𝑅))
9 eqid 2605 . . . 4 (1𝑜 mPoly 𝑆) = (1𝑜 mPoly 𝑆)
10 eqid 2605 . . . 4 (1𝑜 mPwSer 𝑆) = (1𝑜 mPwSer 𝑆)
11 eqid 2605 . . . 4 (+g‘(1𝑜 mPoly 𝑆)) = (+g‘(1𝑜 mPoly 𝑆))
129, 10, 11mplplusg 19353 . . 3 (+g‘(1𝑜 mPoly 𝑆)) = (+g‘(1𝑜 mPwSer 𝑆))
134, 8, 123eqtr4g 2664 . 2 (𝜑 → (+g‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = (+g‘(1𝑜 mPoly 𝑆)))
14 eqid 2605 . . 3 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
15 eqid 2605 . . 3 (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘(Poly1𝑅))
1614, 5, 15ply1plusg 19358 . 2 (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
17 eqid 2605 . . 3 (Poly1𝑆) = (Poly1𝑆)
18 eqid 2605 . . 3 (+g‘(Poly1𝑆)) = (+g‘(Poly1𝑆))
1917, 9, 18ply1plusg 19358 . 2 (+g‘(Poly1𝑆)) = (+g‘(1𝑜 mPoly 𝑆))
2013, 16, 193eqtr4g 2664 1 (𝜑 → (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘(Poly1𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  cfv 5786  (class class class)co 6523  1𝑜c1o 7413  Basecbs 15637  +gcplusg 15710   mPwSer cmps 19114   mPoly cmpl 19116  Poly1cpl1 19310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-fz 12149  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-tset 15729  df-ple 15730  df-psr 19119  df-mpl 19121  df-opsr 19123  df-psr1 19313  df-ply1 19315
This theorem is referenced by:  ply1divalg2  23615
  Copyright terms: Public domain W3C validator