MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1ring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1ring 19385
Description: Univariate polynomials form a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1ring.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1ring (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Proof of Theorem ply1ring
StepHypRef Expression
1 ply1ring.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 eqid 2609 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
3 eqid 2609 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
41, 2, 3ply1bas 19332 . . 3 (Base‘𝑃) = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
51, 2, 3ply1subrg 19334 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1𝑅)))
64, 5syl5eqelr 2692 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1𝑅)))
71, 2ply1val 19331 . . 3 𝑃 = ((PwSer1𝑅) ↾s (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
87subrgring 18552 . 2 ((Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1𝑅)) → 𝑃 ∈ Ring)
96, 8syl 17 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5790  (class class class)co 6527  1𝑜c1o 7417  Basecbs 15641  Ringcrg 18316  SubRingcsubrg 18545   mPoly cmpl 19120  PwSer1cps1 19312  Poly1cpl1 19314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-ofr 6773  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-hash 12935  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-tset 15733  df-ple 15734  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-mhm 17104  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-mulg 17310  df-subg 17360  df-ghm 17427  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-subrg 18547  df-psr 19123  df-mpl 19125  df-opsr 19127  df-psr1 19317  df-ply1 19319
This theorem is referenced by:  coe1z  19400  coe1add  19401  coe1subfv  19403  ply1moncl  19408  coe1pwmul  19416  ply1sclf  19422  ply1scl0  19427  ply1scl1  19429  ply1coefsupp  19432  ply1coe  19433  cply1coe0bi  19437  coe1fzgsumdlem  19438  gsumsmonply1  19440  gsummoncoe1  19441  lply1binom  19443  lply1binomsc  19444  evls1sca  19455  evls1gsumadd  19456  evl1expd  19476  evl1gsumdlem  19487  evl1scvarpw  19494  evl1scvarpwval  19495  evl1gsummon  19496  pmatring  20259  pmatlmod  20260  pmat0op  20261  pmat1op  20262  pmat1ovd  20263  1pmatscmul  20268  cpmatacl  20282  cpmatinvcl  20283  cpmatmcllem  20284  cpmatmcl  20285  mat2pmatbas  20292  mat2pmatghm  20296  mat2pmatmul  20297  mat2pmat1  20298  mat2pmatmhm  20299  mat2pmatrhm  20300  mat2pmatlin  20301  mat2pmatscmxcl  20306  m2pmfzgsumcl  20314  decpmatmullem  20337  pmatcollpw1  20342  pmatcollpw2lem  20343  pmatcollpw2  20344  monmatcollpw  20345  pmatcollpwlem  20346  pmatcollpw  20347  pmatcollpwfi  20348  pmatcollpw3fi1lem1  20352  pmatcollpwscmatlem1  20355  pmatcollpwscmatlem2  20356  pm2mpcl  20363  idpm2idmp  20367  mply1topmatcllem  20369  mply1topmatcl  20371  mp2pm2mplem2  20373  mp2pm2mplem4  20375  mp2pm2mp  20377  pm2mpghm  20382  pm2mpmhmlem2  20385  pm2mpmhm  20386  pm2mprhm  20387  pm2mprngiso  20388  monmat2matmon  20390  pm2mp  20391  chmatcl  20394  chmatval  20395  chpmat0d  20400  chpmat1dlem  20401  chpmat1d  20402  chpdmatlem0  20403  chpdmatlem2  20405  chpdmatlem3  20406  chpscmat  20408  chpscmatgsumbin  20410  chpscmatgsummon  20411  chp0mat  20412  chpidmat  20413  chmaidscmat  20414  chfacfscmulcl  20423  chfacfscmul0  20424  cpmadugsumlemB  20440  cpmadugsumlemC  20441  cpmadugsumlemF  20442  deg1addle2  23583  deg1add  23584  deg1suble  23588  deg1sub  23589  deg1sublt  23591  deg1mul2  23595  deg1mul3  23596  deg1mul3le  23597  deg1pw  23601  ply1nz  23602  ply1domn  23604  ply1divmo  23616  ply1divex  23617  uc1pmon1p  23632  r1pcl  23638  r1pid  23640  dvdsq1p  23641  dvdsr1p  23642  ply1remlem  23643  ply1rem  23644  ig1peu  23652  ig1pval2  23654  ig1pdvds  23657  ig1prsp  23658  ply1lpir  23659  plypf1  23689  lgsqrlem2  24789  lgsqrlem3  24790  lgsqrlem4  24791  hbtlem2  36509  hbtlem4  36511  hbtlem5  36513  hbtlem6  36514  hbt  36515  idomrootle  36588  ply1sclrmsm  41960  ply1mulgsumlem4  41966  ply1mulgsum  41967  linply1  41970
  Copyright terms: Public domain W3C validator