MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1ring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1ring 20346
Description: Univariate polynomials form a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1ring.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1ring (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Proof of Theorem ply1ring
StepHypRef Expression
1 ply1ring.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 eqid 2821 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
3 eqid 2821 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
41, 2, 3ply1bas 20293 . . 3 (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
51, 2, 3ply1subrg 20295 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1𝑅)))
64, 5eqeltrrid 2918 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1𝑅)))
71, 2ply1val 20292 . . 3 𝑃 = ((PwSer1𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
87subrgring 19469 . 2 ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1𝑅)) → 𝑃 ∈ Ring)
96, 8syl 17 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6349  (class class class)co 7145  1oc1o 8086  Basecbs 16473  Ringcrg 19228  SubRingcsubrg 19462   mPoly cmpl 20063  PwSer1cps1 20273  Poly1cpl1 20275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-hash 13681  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-tset 16574  df-ple 16575  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17891  df-mnd 17902  df-mhm 17946  df-submnd 17947  df-grp 18046  df-minusg 18047  df-mulg 18165  df-subg 18216  df-ghm 18296  df-cntz 18387  df-cmn 18839  df-abl 18840  df-mgp 19171  df-ur 19183  df-ring 19230  df-subrg 19464  df-psr 20066  df-mpl 20068  df-opsr 20070  df-psr1 20278  df-ply1 20280
This theorem is referenced by:  coe1z  20361  coe1add  20362  coe1subfv  20364  ply1moncl  20369  coe1pwmul  20377  ply1sclf  20383  ply1scl0  20388  ply1scl1  20390  ply1coefsupp  20393  ply1coe  20394  cply1coe0bi  20398  coe1fzgsumdlem  20399  gsumsmonply1  20401  gsummoncoe1  20402  lply1binom  20404  lply1binomsc  20405  evls1sca  20416  evls1gsumadd  20417  evl1expd  20438  evl1gsumdlem  20449  evl1scvarpw  20456  evl1scvarpwval  20457  evl1gsummon  20458  pmatring  21231  pmatlmod  21232  pmat0op  21233  pmat1op  21234  pmat1ovd  21235  1pmatscmul  21240  cpmatacl  21254  cpmatinvcl  21255  cpmatmcllem  21256  cpmatmcl  21257  mat2pmatbas  21264  mat2pmatghm  21268  mat2pmatmul  21269  mat2pmat1  21270  mat2pmatmhm  21271  mat2pmatrhm  21272  mat2pmatlin  21273  mat2pmatscmxcl  21278  m2pmfzgsumcl  21286  decpmatmullem  21309  pmatcollpw1  21314  pmatcollpw2lem  21315  pmatcollpw2  21316  monmatcollpw  21317  pmatcollpwlem  21318  pmatcollpw  21319  pmatcollpwfi  21320  pmatcollpw3fi1lem1  21324  pmatcollpwscmatlem1  21327  pmatcollpwscmatlem2  21328  pm2mpcl  21335  idpm2idmp  21339  mply1topmatcllem  21341  mply1topmatcl  21343  mp2pm2mplem2  21345  mp2pm2mplem4  21347  mp2pm2mp  21349  pm2mpghm  21354  pm2mpmhmlem2  21357  pm2mpmhm  21358  pm2mprhm  21359  pm2mprngiso  21360  monmat2matmon  21362  pm2mp  21363  chmatcl  21366  chmatval  21367  chpmat0d  21372  chpmat1dlem  21373  chpmat1d  21374  chpdmatlem0  21375  chpdmatlem2  21377  chpdmatlem3  21378  chpscmat  21380  chpscmatgsumbin  21382  chpscmatgsummon  21383  chp0mat  21384  chpidmat  21385  chmaidscmat  21386  chfacfscmulcl  21395  chfacfscmul0  21396  cpmadugsumlemB  21412  cpmadugsumlemC  21413  cpmadugsumlemF  21414  deg1addle2  24625  deg1add  24626  deg1suble  24630  deg1sub  24631  deg1sublt  24633  deg1mul2  24637  deg1mul3  24638  deg1mul3le  24639  deg1pw  24643  ply1nz  24644  ply1domn  24646  ply1divmo  24658  ply1divex  24659  uc1pmon1p  24674  r1pcl  24680  r1pid  24682  dvdsq1p  24683  dvdsr1p  24684  ply1remlem  24685  ply1rem  24686  ig1peu  24694  ig1pval2  24696  ig1pdvds  24699  ig1prsp  24700  ply1lpir  24701  plypf1  24731  lgsqrlem2  25851  lgsqrlem3  25852  lgsqrlem4  25853  hbtlem2  39604  hbtlem4  39606  hbtlem5  39608  hbtlem6  39609  hbt  39610  idomrootle  39675  ply1sclrmsm  44335  ply1mulgsumlem4  44341  ply1mulgsum  44342  linply1  44345
  Copyright terms: Public domain W3C validator