MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1ring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1ring 19666
Description: Univariate polynomials form a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1ring.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1ring (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Proof of Theorem ply1ring
StepHypRef Expression
1 ply1ring.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 eqid 2651 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
3 eqid 2651 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
41, 2, 3ply1bas 19613 . . 3 (Base‘𝑃) = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
51, 2, 3ply1subrg 19615 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1𝑅)))
64, 5syl5eqelr 2735 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1𝑅)))
71, 2ply1val 19612 . . 3 𝑃 = ((PwSer1𝑅) ↾s (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
87subrgring 18831 . 2 ((Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1𝑅)) → 𝑃 ∈ Ring)
96, 8syl 17 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  cfv 5926  (class class class)co 6690  1𝑜c1o 7598  Basecbs 15904  Ringcrg 18593  SubRingcsubrg 18824   mPoly cmpl 19401  PwSer1cps1 19593  Poly1cpl1 19595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-tset 16007  df-ple 16008  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-subrg 18826  df-psr 19404  df-mpl 19406  df-opsr 19408  df-psr1 19598  df-ply1 19600
This theorem is referenced by:  coe1z  19681  coe1add  19682  coe1subfv  19684  ply1moncl  19689  coe1pwmul  19697  ply1sclf  19703  ply1scl0  19708  ply1scl1  19710  ply1coefsupp  19713  ply1coe  19714  cply1coe0bi  19718  coe1fzgsumdlem  19719  gsumsmonply1  19721  gsummoncoe1  19722  lply1binom  19724  lply1binomsc  19725  evls1sca  19736  evls1gsumadd  19737  evl1expd  19757  evl1gsumdlem  19768  evl1scvarpw  19775  evl1scvarpwval  19776  evl1gsummon  19777  pmatring  20546  pmatlmod  20547  pmat0op  20548  pmat1op  20549  pmat1ovd  20550  1pmatscmul  20555  cpmatacl  20569  cpmatinvcl  20570  cpmatmcllem  20571  cpmatmcl  20572  mat2pmatbas  20579  mat2pmatghm  20583  mat2pmatmul  20584  mat2pmat1  20585  mat2pmatmhm  20586  mat2pmatrhm  20587  mat2pmatlin  20588  mat2pmatscmxcl  20593  m2pmfzgsumcl  20601  decpmatmullem  20624  pmatcollpw1  20629  pmatcollpw2lem  20630  pmatcollpw2  20631  monmatcollpw  20632  pmatcollpwlem  20633  pmatcollpw  20634  pmatcollpwfi  20635  pmatcollpw3fi1lem1  20639  pmatcollpwscmatlem1  20642  pmatcollpwscmatlem2  20643  pm2mpcl  20650  idpm2idmp  20654  mply1topmatcllem  20656  mply1topmatcl  20658  mp2pm2mplem2  20660  mp2pm2mplem4  20662  mp2pm2mp  20664  pm2mpghm  20669  pm2mpmhmlem2  20672  pm2mpmhm  20673  pm2mprhm  20674  pm2mprngiso  20675  monmat2matmon  20677  pm2mp  20678  chmatcl  20681  chmatval  20682  chpmat0d  20687  chpmat1dlem  20688  chpmat1d  20689  chpdmatlem0  20690  chpdmatlem2  20692  chpdmatlem3  20693  chpscmat  20695  chpscmatgsumbin  20697  chpscmatgsummon  20698  chp0mat  20699  chpidmat  20700  chmaidscmat  20701  chfacfscmulcl  20710  chfacfscmul0  20711  cpmadugsumlemB  20727  cpmadugsumlemC  20728  cpmadugsumlemF  20729  deg1addle2  23907  deg1add  23908  deg1suble  23912  deg1sub  23913  deg1sublt  23915  deg1mul2  23919  deg1mul3  23920  deg1mul3le  23921  deg1pw  23925  ply1nz  23926  ply1domn  23928  ply1divmo  23940  ply1divex  23941  uc1pmon1p  23956  r1pcl  23962  r1pid  23964  dvdsq1p  23965  dvdsr1p  23966  ply1remlem  23967  ply1rem  23968  ig1peu  23976  ig1pval2  23978  ig1pdvds  23981  ig1prsp  23982  ply1lpir  23983  plypf1  24013  lgsqrlem2  25117  lgsqrlem3  25118  lgsqrlem4  25119  hbtlem2  38011  hbtlem4  38013  hbtlem5  38015  hbtlem6  38016  hbt  38017  idomrootle  38090  ply1sclrmsm  42496  ply1mulgsumlem4  42502  ply1mulgsum  42503  linply1  42506
  Copyright terms: Public domain W3C validator