MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1sca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1sca 19387
Description: Scalars of a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1lmod.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1sca (𝑅𝑉𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Proof of Theorem ply1sca
StepHypRef Expression
1 eqid 2606 . . 3 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
21psr1sca 19384 . 2 (𝑅𝑉𝑅 = (Scalar‘(PwSer1𝑅)))
3 fvex 6095 . . 3 (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) ∈ V
4 ply1lmod.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
54, 1ply1val 19328 . . . 4 𝑃 = ((PwSer1𝑅) ↾s (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
6 eqid 2606 . . . 4 (Scalar‘(PwSer1𝑅)) = (Scalar‘(PwSer1𝑅))
75, 6resssca 15797 . . 3 ((Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) ∈ V → (Scalar‘(PwSer1𝑅)) = (Scalar‘𝑃))
83, 7ax-mp 5 . 2 (Scalar‘(PwSer1𝑅)) = (Scalar‘𝑃)
92, 8syl6eq 2656 1 (𝑅𝑉𝑅 = (Scalar‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3169  cfv 5787  (class class class)co 6524  1𝑜c1o 7414  Basecbs 15638  Scalarcsca 15714   mPoly cmpl 19117  PwSer1cps1 19309  Poly1cpl1 19311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-of 6769  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-supp 7157  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fsupp 8133  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-9 10930  df-n0 11137  df-z 11208  df-dec 11323  df-uz 11517  df-fz 12150  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-sca 15727  df-vsca 15728  df-tset 15730  df-ple 15731  df-psr 19120  df-opsr 19124  df-psr1 19314  df-ply1 19316
This theorem is referenced by:  ply1sca2  19388  ply10s0  19390  ply1ascl  19392  coe1pwmul  19413  ply1idvr1  19427  ply1coefsupp  19429  ply1coe  19430  cply1coe0bi  19434  gsumsmonply1  19437  gsummoncoe1  19438  lply1binomsc  19441  evls1sca  19452  evl1vsd  19472  evl1scvarpw  19491  evl1gsummon  19493  cpmatacl  20279  cpmatinvcl  20280  mat2pmatbas  20289  mat2pmatghm  20293  mat2pmatmul  20294  mat2pmatlin  20298  decpmatid  20333  pmatcollpw2lem  20340  monmatcollpw  20342  pmatcollpwlem  20343  pmatcollpwscmatlem1  20352  pm2mpcl  20360  idpm2idmp  20364  mply1topmatcllem  20366  mply1topmatcl  20368  mp2pm2mplem4  20372  mp2pm2mplem5  20373  pm2mpghmlem2  20375  pm2mpghm  20379  pm2mpmhmlem1  20381  pm2mpmhmlem2  20382  monmat2matmon  20387  chpscmat  20405  chpscmatgsumbin  20407  chpscmatgsummon  20408  deg1pwle  23597  deg1pw  23598  ply1remlem  23640  fta1blem  23646  plypf1  23686  ply1vr1smo  41962  ply1sclrmsm  41964  ply1mulgsumlem4  41970  ply1mulgsum  41971
  Copyright terms: Public domain W3C validator