Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1vr1smo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1vr1smo 42070
 Description: The variable in a polynomial expressed as scaled monomial. (Contributed by AV, 12-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1vr1smo.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1vr1smo.i 1 = (1r𝑅)
ply1vr1smo.t · = ( ·𝑠𝑃)
ply1vr1smo.m 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
ply1vr1smo.e = (.g𝐺)
ply1vr1smo.x 𝑋 = (var1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1vr1smo (𝑅 ∈ Ring → ( 1 · (1 𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem ply1vr1smo
StepHypRef Expression
1 ply1vr1smo.i . . . 4 1 = (1r𝑅)
2 ply1vr1smo.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
32ply1sca 19346 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
43fveq2d 5990 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
51, 4syl5eq 2560 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 1 = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
65oveq1d 6440 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ( 1 · (1 𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑃)) · (1 𝑋)))
72ply1lmod 19345 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
8 ply1vr1smo.x . . . . . 6 𝑋 = (var1𝑅)
9 eqid 2514 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
108, 2, 9vr1cl 19310 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
11 ply1vr1smo.m . . . . . . 7 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
1211, 9mgpbas 18223 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
13 ply1vr1smo.e . . . . . 6 = (.g𝐺)
1412, 13mulg1 17261 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (1 𝑋) = 𝑋)
1510, 14syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (1 𝑋) = 𝑋)
1615, 10eqeltrd 2592 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (1 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
17 eqid 2514 . . . 4 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
18 ply1vr1smo.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝑃)
19 eqid 2514 . . . 4 (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
209, 17, 18, 19lmodvs1 18619 . . 3 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (1 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((1r‘(Scalar‘𝑃)) · (1 𝑋)) = (1 𝑋))
217, 16, 20syl2anc 690 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘(Scalar‘𝑃)) · (1 𝑋)) = (1 𝑋))
226, 21, 153eqtrd 2552 1 (𝑅 ∈ Ring → ( 1 · (1 𝑋)) = 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1474   ∈ wcel 1938  ‘cfv 5689  (class class class)co 6425  1c1 9691  Basecbs 15577  Scalarcsca 15653   ·𝑠 cvsca 15654  .gcmg 17253  mulGrpcmgp 18217  1rcur 18229  Ringcrg 18275  LModclmod 18591  var1cv1 19269  Poly1cpl1 19270 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6722  ax-inf2 8296  ax-cnex 9746  ax-resscn 9747  ax-1cn 9748  ax-icn 9749  ax-addcl 9750  ax-addrcl 9751  ax-mulcl 9752  ax-mulrcl 9753  ax-mulcom 9754  ax-addass 9755  ax-mulass 9756  ax-distr 9757  ax-i2m1 9758  ax-1ne0 9759  ax-1rid 9760  ax-rnegex 9761  ax-rrecex 9762  ax-cnre 9763  ax-pre-lttri 9764  ax-pre-lttrn 9765  ax-pre-ltadd 9766  ax-pre-mulgt0 9767 This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-of 6670  df-om 6833  df-1st 6933  df-2nd 6934  df-supp 7057  df-wrecs 7168  df-recs 7230  df-rdg 7268  df-1o 7322  df-oadd 7326  df-er 7504  df-map 7621  df-en 7717  df-dom 7718  df-sdom 7719  df-fin 7720  df-fsupp 8034  df-pnf 9830  df-mnf 9831  df-xr 9832  df-ltxr 9833  df-le 9834  df-sub 10018  df-neg 10019  df-nn 10775  df-2 10833  df-3 10834  df-4 10835  df-5 10836  df-6 10837  df-7 10838  df-8 10839  df-9 10840  df-n0 11047  df-z 11118  df-dec 11233  df-uz 11427  df-fz 12065  df-seq 12531  df-struct 15579  df-ndx 15580  df-slot 15581  df-base 15582  df-sets 15583  df-ress 15584  df-plusg 15663  df-mulr 15664  df-sca 15666  df-vsca 15667  df-tset 15669  df-ple 15670  df-0g 15807  df-mgm 16955  df-sgrp 16997  df-mnd 17008  df-grp 17138  df-minusg 17139  df-sbg 17140  df-mulg 17254  df-subg 17304  df-mgp 18218  df-ur 18230  df-ring 18277  df-lmod 18593  df-lss 18656  df-psr 19079  df-mvr 19080  df-mpl 19081  df-opsr 19083  df-psr1 19273  df-vr1 19274  df-ply1 19275 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator