MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plycjlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plycjlem 23753
Description: Lemma for plycj 23754 and coecj 23755. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plycj.1 𝑁 = (deg‘𝐹)
plycj.2 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
plycjlem.3 𝐴 = (coeff‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
plycjlem (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝐹,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem plycjlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plycj.2 . . 3 𝐺 = ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗)
2 cjcl 13639 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℂ → (∗‘𝑧) ∈ ℂ)
32adantl 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∗‘𝑧) ∈ ℂ)
4 cjf 13638 . . . . . 6 ∗:ℂ⟶ℂ
54a1i 11 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∗:ℂ⟶ℂ)
65feqmptd 6144 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∗ = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘𝑧)))
7 fzfid 12589 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
8 plycjlem.3 . . . . . . . . . 10 𝐴 = (coeff‘𝐹)
98coef3 23709 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
109adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
11 elfznn0 12257 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
12 ffvelrn 6250 . . . . . . . 8 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
1310, 11, 12syl2an 492 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
14 expcl 12695 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
1511, 14sylan2 489 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
1615adantll 745 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
1713, 16mulcld 9916 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) ∈ ℂ)
187, 17fsumcl 14257 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) ∈ ℂ)
19 plycj.1 . . . . . 6 𝑁 = (deg‘𝐹)
208, 19coeid 23715 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘))))
21 fveq2 6088 . . . . 5 (𝑧 = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) → (∗‘𝑧) = (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘))))
2218, 20, 6, 21fmptco 6288 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (∗ ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)))))
23 oveq1 6534 . . . . . . 7 (𝑥 = (∗‘𝑧) → (𝑥𝑘) = ((∗‘𝑧)↑𝑘))
2423oveq2d 6543 . . . . . 6 (𝑥 = (∗‘𝑧) → ((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) = ((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))
2524sumeq2sdv 14228 . . . . 5 (𝑥 = (∗‘𝑧) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))
2625fveq2d 6092 . . . 4 (𝑥 = (∗‘𝑧) → (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑥𝑘))) = (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))))
273, 6, 22, 26fmptco 6288 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((∗ ∘ 𝐹) ∘ ∗) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))))
281, 27syl5eq 2655 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))))
29 fzfid 12589 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
309adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
3130, 11, 12syl2an 492 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
32 expcl 12695 . . . . . . 7 (((∗‘𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘𝑧)↑𝑘) ∈ ℂ)
333, 11, 32syl2an 492 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗‘𝑧)↑𝑘) ∈ ℂ)
3431, 33mulcld 9916 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)) ∈ ℂ)
3529, 34fsumcj 14329 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(∗‘((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))))
3631, 33cjmuld 13755 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘))))
37 fvco3 6170 . . . . . . . 8 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴𝑘)))
3830, 11, 37syl2an 492 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) = (∗‘(𝐴𝑘)))
39 cjexp 13684 . . . . . . . . 9 (((∗‘𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘)) = ((∗‘(∗‘𝑧))↑𝑘))
403, 11, 39syl2an 492 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘)) = ((∗‘(∗‘𝑧))↑𝑘))
41 cjcj 13674 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝑧)) = 𝑧)
4241ad2antlr 758 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘(∗‘𝑧)) = 𝑧)
4342oveq1d 6542 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((∗‘(∗‘𝑧))↑𝑘) = (𝑧𝑘))
4440, 43eqtr2d 2644 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑧𝑘) = (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘)))
4538, 44oveq12d 6545 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((∗‘(𝐴𝑘)) · (∗‘((∗‘𝑧)↑𝑘))))
4636, 45eqtr4d 2646 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (∗‘((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = (((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧𝑘)))
4746sumeq2dv 14227 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(∗‘((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧𝑘)))
4835, 47eqtrd 2643 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧𝑘)))
4948mpteq2dva 4666 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (∗‘Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · ((∗‘𝑧)↑𝑘)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
5028, 49eqtrd 2643 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((∗ ∘ 𝐴)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cmpt 4637  ccom 5032  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  0cc0 9792   · cmul 9797  0cn0 11139  ...cfz 12152  cexp 12677  ccj 13630  Σcsu 14210  Polycply 23661  coeffccoe 23663  degcdgr 23664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-0p 23160  df-ply 23665  df-coe 23667  df-dgr 23668
This theorem is referenced by:  plycj  23754  coecj  23755
  Copyright terms: Public domain W3C validator