MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plycn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plycn 24062
Description: A polynomial is a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plycn (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Proof of Theorem plycn
Dummy variables 𝑧 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . 4 (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
2 eqid 2651 . . . 4 (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
31, 2coeid 24039 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
4 eqid 2651 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
54cnfldtopon 22633 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
65a1i 11 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
7 fzfid 12812 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
85a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
91coef3 24033 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
10 elfznn0 12471 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11 ffvelrn 6397 . . . . . . 7 (((coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
129, 10, 11syl2an 493 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((coeff‘𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
138, 8, 12cnmptc 21513 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((coeff‘𝐹)‘𝑘)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
1410adantl 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
154expcn 22722 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝑘)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝑘)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
174mulcn 22717 . . . . . 6 · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
1817a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
198, 13, 16, 18cnmpt12f 21517 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
204, 6, 7, 19fsumcn 22720 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((coeff‘𝐹)‘𝑘) · (𝑧𝑘))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
213, 20eqeltrd 2730 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
224cncfcn1 22760 . 2 (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
2321, 22syl6eleqr 2741 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2030  cmpt 4762  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974   · cmul 9979  0cn0 11330  ...cfz 12364  cexp 12900  Σcsu 14460  TopOpenctopn 16129  fldccnfld 19794  TopOnctopon 20763   Cn ccn 21076   ×t ctx 21411  cnccncf 22726  Polycply 23985  coeffccoe 23987  degcdgr 23988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-0p 23482  df-ply 23989  df-coe 23991  df-dgr 23992
This theorem is referenced by:  plycpn  24089  taylthlem2  24173  ftalem3  24846  signsply0  30756
  Copyright terms: Public domain W3C validator