Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plycpn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plycpn 24089
 Description: Polynomials are smooth. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
plycpn (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ran (Cn‘ℂ))

Proof of Theorem plycpn
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyf 23999 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
21adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
3 cnex 10055 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
43, 3fpm 7932 . . . . . 6 (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
52, 4syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
6 dvnply 24088 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ∈ (Poly‘ℂ))
7 plycn 24062 . . . . . . 7 (((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ∈ (Poly‘ℂ) → ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9 fdm 6089 . . . . . . . 8 (𝐹:ℂ⟶ℂ → dom 𝐹 = ℂ)
102, 9syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → dom 𝐹 = ℂ)
1110oveq1d 6705 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (dom 𝐹cn→ℂ) = (ℂ–cn→ℂ))
128, 11eleqtrrd 2733 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
13 ssid 3657 . . . . . . 7 ℂ ⊆ ℂ
1413a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ℂ ⊆ ℂ)
15 elcpn 23742 . . . . . 6 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑛) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))))
1614, 15sylan 487 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑛) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ ((ℂ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))))
175, 12, 16mpbir2and 977 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑛))
1817ralrimiva 2995 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑛))
19 fncpn 23741 . . . 4 (ℂ ⊆ ℂ → (Cn‘ℂ) Fn ℕ0)
20 eleq2 2719 . . . . 5 (𝑥 = ((Cn‘ℂ)‘𝑛) → (𝐹𝑥𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑛)))
2120ralrn 6402 . . . 4 ((Cn‘ℂ) Fn ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ran (Cn‘ℂ)𝐹𝑥 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑛)))
2213, 19, 21mp2b 10 . . 3 (∀𝑥 ∈ ran (Cn‘ℂ)𝐹𝑥 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝐹 ∈ ((Cn‘ℂ)‘𝑛))
2318, 22sylibr 224 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ ran (Cn‘ℂ)𝐹𝑥)
24 elintg 4515 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 ran (Cn‘ℂ) ↔ ∀𝑥 ∈ ran (Cn‘ℂ)𝐹𝑥))
2523, 24mpbird 247 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ran (Cn‘ℂ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941   ⊆ wss 3607  ∩ cint 4507  dom cdm 5143  ran crn 5144   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↑pm cpm 7900  ℂcc 9972  ℕ0cn0 11330  –cn→ccncf 22726   D𝑛 cdvn 23673  Cnccpn 23674  Polycply 23985 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-subrg 18826  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-0p 23482  df-limc 23675  df-dv 23676  df-dvn 23677  df-cpn 23678  df-ply 23989  df-coe 23991  df-dgr 23992 This theorem is referenced by:  aalioulem3  24134
 Copyright terms: Public domain W3C validator