Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plydivalg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plydivalg 24099
 Description: The division algorithm on polynomials over a subfield 𝑆 of the complex numbers. If 𝐹 and 𝐺 ≠ 0 are polynomials over 𝑆, then there is a unique quotient polynomial 𝑞 such that the remainder 𝐹 − 𝐺 · 𝑞 is either zero or has degree less than 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r 𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))
Assertion
Ref Expression
plydivalg (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑞,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝐺,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑞,𝑥,𝑦   𝜑,𝑞
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑞)

Proof of Theorem plydivalg
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plydiv.pl . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2 plydiv.tm . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
3 plydiv.rc . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
4 plydiv.m1 . . 3 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
5 plydiv.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
6 plydiv.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
7 plydiv.z . . 3 (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
8 plydiv.r . . 3 𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8plydivex 24097 . 2 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
10 simpll 805 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝜑)
1110, 1sylan 487 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
1210, 2sylan 487 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
1310, 3sylan 487 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
1410, 4syl 17 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → -1 ∈ 𝑆)
1510, 5syl 17 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
1610, 6syl 17 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
1710, 7syl 17 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
18 eqid 2651 . . . . 5 (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))
19 simplrr 818 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
20 simprr 811 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))
21 simplrl 817 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝑞 ∈ (Poly‘𝑆))
22 simprl 809 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
2311, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 8, 21, 22plydiveu 24098 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) ∧ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))) → 𝑞 = 𝑝)
2423ex 449 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))) → (((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺))) → 𝑞 = 𝑝))
2524ralrimivva 3000 . 2 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)∀𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺))) → 𝑞 = 𝑝))
26 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑝 → (𝐺𝑓 · 𝑞) = (𝐺𝑓 · 𝑝))
2726oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑞 = 𝑝 → (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)))
288, 27syl5eq 2697 . . . . 5 (𝑞 = 𝑝𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)))
2928eqeq1d 2653 . . . 4 (𝑞 = 𝑝 → (𝑅 = 0𝑝 ↔ (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝))
3028fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑞 = 𝑝 → (deg‘𝑅) = (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))))
3130breq1d 4695 . . . 4 (𝑞 = 𝑝 → ((deg‘𝑅) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))
3229, 31orbi12d 746 . . 3 (𝑞 = 𝑝 → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
3332reu4 3433 . 2 (∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ∀𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)∀𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ∧ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < (deg‘𝐺))) → 𝑞 = 𝑝)))
349, 25, 33sylanbrc 699 1 (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  ∃!wreu 2943   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘𝑓 cof 6937  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112   − cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  0𝑝c0p 23481  Polycply 23985  degcdgr 23988 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-0p 23482  df-ply 23989  df-coe 23991  df-dgr 23992 This theorem is referenced by:  quotlem  24100
 Copyright terms: Public domain W3C validator