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Theorem plydiveu 23774
Description: Lemma for plydivalg 23775. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r 𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))
plydiveu.q (𝜑𝑞 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiveu.qd (𝜑 → (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
plydiveu.t 𝑇 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))
plydiveu.p (𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiveu.pd (𝜑 → (𝑇 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑇) < (deg‘𝐺)))
Assertion
Ref Expression
plydiveu (𝜑𝑝 = 𝑞)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑞,𝑝,𝑥,𝑦,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝐺,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦   𝑅,𝑝,𝑥,𝑦   𝑆,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞,𝑝)   𝑅(𝑞)   𝑇(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem plydiveu
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idd 24 . . . 4 (𝜑 → ((𝑝𝑓𝑞) = 0𝑝 → (𝑝𝑓𝑞) = 0𝑝))
2 plydiveu.q . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑞 ∈ (Poly‘𝑆))
3 plydiv.pl . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
4 plydiv.tm . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
5 plydiv.rc . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
6 plydiv.m1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
7 plydiv.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
8 plydiv.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
9 plydiv.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
10 plydiv.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10plydivlem2 23770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑅 ∈ (Poly‘𝑆))
122, 11mpdan 698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ (Poly‘𝑆))
13 plydiveu.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
14 plydiveu.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))
153, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14plydivlem2 23770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑇 ∈ (Poly‘𝑆))
1613, 15mpdan 698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑇 ∈ (Poly‘𝑆))
1712, 16, 3, 4, 6plysub 23696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑅𝑓𝑇) ∈ (Poly‘𝑆))
18 dgrcl 23710 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅𝑓𝑇) ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘(𝑅𝑓𝑇)) ∈ ℕ0)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘(𝑅𝑓𝑇)) ∈ ℕ0)
2019nn0red 11199 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘(𝑅𝑓𝑇)) ∈ ℝ)
21 dgrcl 23710 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝑇) ∈ ℕ0)
2216, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (deg‘𝑇) ∈ ℕ0)
2322nn0red 11199 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘𝑇) ∈ ℝ)
24 dgrcl 23710 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝑅) ∈ ℕ0)
2512, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (deg‘𝑅) ∈ ℕ0)
2625nn0red 11199 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘𝑅) ∈ ℝ)
2723, 26ifcld 4080 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ∈ ℝ)
28 dgrcl 23710 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
298, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
3029nn0red 11199 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℝ)
31 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . 14 (deg‘𝑅) = (deg‘𝑅)
32 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . 14 (deg‘𝑇) = (deg‘𝑇)
3331, 32dgrsub 23749 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑇 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝑅𝑓𝑇)) ≤ if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)))
3412, 16, 33syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘(𝑅𝑓𝑇)) ≤ if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)))
35 plydiveu.pd . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑇 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑇) < (deg‘𝐺)))
36 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (coeff‘𝑇) = (coeff‘𝑇)
3732, 36dgrlt 23743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ0) → ((𝑇 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑇) < (deg‘𝐺)) ↔ ((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0)))
3816, 29, 37syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑇 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑇) < (deg‘𝐺)) ↔ ((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0)))
3935, 38mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0))
4039simpld 473 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺))
41 plydiveu.qd . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
42 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (coeff‘𝑅) = (coeff‘𝑅)
4331, 42dgrlt 23743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ0) → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ ((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0)))
4412, 29, 43syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ ((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0)))
4541, 44mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0))
4645simpld 473 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺))
47 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((deg‘𝑇) = if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) → ((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ↔ if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ≤ (deg‘𝐺)))
48 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((deg‘𝑅) = if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) → ((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺) ↔ if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ≤ (deg‘𝐺)))
4947, 48ifboth 4073 . . . . . . . . . . . . 13 (((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ∧ (deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺)) → if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ≤ (deg‘𝐺))
5040, 46, 49syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ≤ (deg‘𝐺))
5120, 27, 30, 34, 50letrd 10045 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (deg‘(𝑅𝑓𝑇)) ≤ (deg‘𝐺))
5251adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑓𝑞) ≠ 0𝑝) → (deg‘(𝑅𝑓𝑇)) ≤ (deg‘𝐺))
5313, 2, 3, 4, 6plysub 23696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑝𝑓𝑞) ∈ (Poly‘𝑆))
54 dgrcl 23710 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝𝑓𝑞) ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘(𝑝𝑓𝑞)) ∈ ℕ0)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘(𝑝𝑓𝑞)) ∈ ℕ0)
56 nn0addge1 11186 . . . . . . . . . . . . 13 (((deg‘𝐺) ∈ ℝ ∧ (deg‘(𝑝𝑓𝑞)) ∈ ℕ0) → (deg‘𝐺) ≤ ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝𝑓𝑞))))
5730, 55, 56syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘𝐺) ≤ ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝𝑓𝑞))))
5857adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑓𝑞) ≠ 0𝑝) → (deg‘𝐺) ≤ ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝𝑓𝑞))))
59 plyf 23675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
607, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
6160ffvelrnda 6252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
628, 2, 3, 4plymul 23695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆))
63 plyf 23675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺𝑓 · 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺𝑓 · 𝑞):ℂ⟶ℂ)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝑞):ℂ⟶ℂ)
6564ffvelrnda 6252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑓 · 𝑞)‘𝑧) ∈ ℂ)
668, 13, 3, 4plymul 23695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆))
67 plyf 23675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺𝑓 · 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺𝑓 · 𝑝):ℂ⟶ℂ)
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝑝):ℂ⟶ℂ)
6968ffvelrnda 6252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑓 · 𝑝)‘𝑧) ∈ ℂ)
7061, 65, 69nnncan1d 10277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (((𝐹𝑧) − ((𝐺𝑓 · 𝑞)‘𝑧)) − ((𝐹𝑧) − ((𝐺𝑓 · 𝑝)‘𝑧))) = (((𝐺𝑓 · 𝑝)‘𝑧) − ((𝐺𝑓 · 𝑞)‘𝑧)))
7170mpteq2dva 4666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐹𝑧) − ((𝐺𝑓 · 𝑞)‘𝑧)) − ((𝐹𝑧) − ((𝐺𝑓 · 𝑝)‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐺𝑓 · 𝑝)‘𝑧) − ((𝐺𝑓 · 𝑞)‘𝑧))))
72 cnex 9873 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℂ ∈ V
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ℂ ∈ V)
7461, 65subcld 10243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹𝑧) − ((𝐺𝑓 · 𝑞)‘𝑧)) ∈ ℂ)
7561, 69subcld 10243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹𝑧) − ((𝐺𝑓 · 𝑝)‘𝑧)) ∈ ℂ)
7660feqmptd 6144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑧)))
7764feqmptd 6144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝑞) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑓 · 𝑞)‘𝑧)))
7873, 61, 65, 76, 77offval2 6789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐹𝑧) − ((𝐺𝑓 · 𝑞)‘𝑧))))
7910, 78syl5eq 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑅 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐹𝑧) − ((𝐺𝑓 · 𝑞)‘𝑧))))
8068feqmptd 6144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝑝) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐺𝑓 · 𝑝)‘𝑧)))
8173, 61, 69, 76, 80offval2 6789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐹𝑧) − ((𝐺𝑓 · 𝑝)‘𝑧))))
8214, 81syl5eq 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑇 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐹𝑧) − ((𝐺𝑓 · 𝑝)‘𝑧))))
8373, 74, 75, 79, 82offval2 6789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑅𝑓𝑇) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐹𝑧) − ((𝐺𝑓 · 𝑞)‘𝑧)) − ((𝐹𝑧) − ((𝐺𝑓 · 𝑝)‘𝑧)))))
8473, 69, 65, 80, 77offval2 6789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐺𝑓 · 𝑝) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐺𝑓 · 𝑝)‘𝑧) − ((𝐺𝑓 · 𝑞)‘𝑧))))
8571, 83, 843eqtr4d 2653 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑅𝑓𝑇) = ((𝐺𝑓 · 𝑝) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)))
86 plyf 23675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
878, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐺:ℂ⟶ℂ)
88 plyf 23675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑝:ℂ⟶ℂ)
8913, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑝:ℂ⟶ℂ)
90 plyf 23675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑞:ℂ⟶ℂ)
912, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑞:ℂ⟶ℂ)
92 subdi 10314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
9392adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑥 · (𝑦𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
9473, 87, 89, 91, 93caofdi 6808 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺𝑓 · (𝑝𝑓𝑞)) = ((𝐺𝑓 · 𝑝) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)))
9585, 94eqtr4d 2646 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑅𝑓𝑇) = (𝐺𝑓 · (𝑝𝑓𝑞)))
9695fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘(𝑅𝑓𝑇)) = (deg‘(𝐺𝑓 · (𝑝𝑓𝑞))))
9796adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑓𝑞) ≠ 0𝑝) → (deg‘(𝑅𝑓𝑇)) = (deg‘(𝐺𝑓 · (𝑝𝑓𝑞))))
988adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑓𝑞) ≠ 0𝑝) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
999adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑓𝑞) ≠ 0𝑝) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
10053adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑓𝑞) ≠ 0𝑝) → (𝑝𝑓𝑞) ∈ (Poly‘𝑆))
101 simpr 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑓𝑞) ≠ 0𝑝) → (𝑝𝑓𝑞) ≠ 0𝑝)
102 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . 14 (deg‘𝐺) = (deg‘𝐺)
103 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . 14 (deg‘(𝑝𝑓𝑞)) = (deg‘(𝑝𝑓𝑞))
104102, 103dgrmul 23747 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) ∧ ((𝑝𝑓𝑞) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑝𝑓𝑞) ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐺𝑓 · (𝑝𝑓𝑞))) = ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝𝑓𝑞))))
10598, 99, 100, 101, 104syl22anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑓𝑞) ≠ 0𝑝) → (deg‘(𝐺𝑓 · (𝑝𝑓𝑞))) = ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝𝑓𝑞))))
10697, 105eqtrd 2643 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑓𝑞) ≠ 0𝑝) → (deg‘(𝑅𝑓𝑇)) = ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝𝑓𝑞))))
10758, 106breqtrrd 4605 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑓𝑞) ≠ 0𝑝) → (deg‘𝐺) ≤ (deg‘(𝑅𝑓𝑇)))
10820, 30letri3d 10030 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((deg‘(𝑅𝑓𝑇)) = (deg‘𝐺) ↔ ((deg‘(𝑅𝑓𝑇)) ≤ (deg‘𝐺) ∧ (deg‘𝐺) ≤ (deg‘(𝑅𝑓𝑇)))))
109108adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑓𝑞) ≠ 0𝑝) → ((deg‘(𝑅𝑓𝑇)) = (deg‘𝐺) ↔ ((deg‘(𝑅𝑓𝑇)) ≤ (deg‘𝐺) ∧ (deg‘𝐺) ≤ (deg‘(𝑅𝑓𝑇)))))
11052, 107, 109mpbir2and 958 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑓𝑞) ≠ 0𝑝) → (deg‘(𝑅𝑓𝑇)) = (deg‘𝐺))
111110fveq2d 6092 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑓𝑞) ≠ 0𝑝) → ((coeff‘(𝑅𝑓𝑇))‘(deg‘(𝑅𝑓𝑇))) = ((coeff‘(𝑅𝑓𝑇))‘(deg‘𝐺)))
11242, 36coesub 23734 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑇 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝑅𝑓𝑇)) = ((coeff‘𝑅) ∘𝑓 − (coeff‘𝑇)))
11312, 16, 112syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (coeff‘(𝑅𝑓𝑇)) = ((coeff‘𝑅) ∘𝑓 − (coeff‘𝑇)))
114113fveq1d 6090 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((coeff‘(𝑅𝑓𝑇))‘(deg‘𝐺)) = (((coeff‘𝑅) ∘𝑓 − (coeff‘𝑇))‘(deg‘𝐺)))
11542coef3 23709 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝑅):ℕ0⟶ℂ)
116 ffn 5944 . . . . . . . . . . . . . 14 ((coeff‘𝑅):ℕ0⟶ℂ → (coeff‘𝑅) Fn ℕ0)
11712, 115, 1163syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (coeff‘𝑅) Fn ℕ0)
11836coef3 23709 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝑇):ℕ0⟶ℂ)
119 ffn 5944 . . . . . . . . . . . . . 14 ((coeff‘𝑇):ℕ0⟶ℂ → (coeff‘𝑇) Fn ℕ0)
12016, 118, 1193syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (coeff‘𝑇) Fn ℕ0)
121 nn0ex 11145 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
123 inidm 3783 . . . . . . . . . . . . 13 (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
12445simprd 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0)
125124adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0)
12639simprd 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0)
127126adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0)
128117, 120, 122, 122, 123, 125, 127ofval 6781 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ0) → (((coeff‘𝑅) ∘𝑓 − (coeff‘𝑇))‘(deg‘𝐺)) = (0 − 0))
12929, 128mpdan 698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((coeff‘𝑅) ∘𝑓 − (coeff‘𝑇))‘(deg‘𝐺)) = (0 − 0))
130114, 129eqtrd 2643 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((coeff‘(𝑅𝑓𝑇))‘(deg‘𝐺)) = (0 − 0))
131 0m0e0 10977 . . . . . . . . . 10 (0 − 0) = 0
132130, 131syl6eq 2659 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((coeff‘(𝑅𝑓𝑇))‘(deg‘𝐺)) = 0)
133132adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑓𝑞) ≠ 0𝑝) → ((coeff‘(𝑅𝑓𝑇))‘(deg‘𝐺)) = 0)
134111, 133eqtrd 2643 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑓𝑞) ≠ 0𝑝) → ((coeff‘(𝑅𝑓𝑇))‘(deg‘(𝑅𝑓𝑇))) = 0)
135 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (deg‘(𝑅𝑓𝑇)) = (deg‘(𝑅𝑓𝑇))
136 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (coeff‘(𝑅𝑓𝑇)) = (coeff‘(𝑅𝑓𝑇))
137135, 136dgreq0 23742 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑓𝑇) ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝑅𝑓𝑇) = 0𝑝 ↔ ((coeff‘(𝑅𝑓𝑇))‘(deg‘(𝑅𝑓𝑇))) = 0))
13817, 137syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅𝑓𝑇) = 0𝑝 ↔ ((coeff‘(𝑅𝑓𝑇))‘(deg‘(𝑅𝑓𝑇))) = 0))
139138biimpar 500 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((coeff‘(𝑅𝑓𝑇))‘(deg‘(𝑅𝑓𝑇))) = 0) → (𝑅𝑓𝑇) = 0𝑝)
140134, 139syldan 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑓𝑞) ≠ 0𝑝) → (𝑅𝑓𝑇) = 0𝑝)
141140ex 448 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑝𝑓𝑞) ≠ 0𝑝 → (𝑅𝑓𝑇) = 0𝑝))
142 plymul0or 23757 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑝𝑓𝑞) ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐺𝑓 · (𝑝𝑓𝑞)) = 0𝑝 ↔ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (𝑝𝑓𝑞) = 0𝑝)))
1438, 53, 142syl2anc 690 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺𝑓 · (𝑝𝑓𝑞)) = 0𝑝 ↔ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (𝑝𝑓𝑞) = 0𝑝)))
14495eqeq1d 2611 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅𝑓𝑇) = 0𝑝 ↔ (𝐺𝑓 · (𝑝𝑓𝑞)) = 0𝑝))
1459neneqd 2786 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝐺 = 0𝑝)
146 biorf 418 . . . . . . 7 𝐺 = 0𝑝 → ((𝑝𝑓𝑞) = 0𝑝 ↔ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (𝑝𝑓𝑞) = 0𝑝)))
147145, 146syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑝𝑓𝑞) = 0𝑝 ↔ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (𝑝𝑓𝑞) = 0𝑝)))
148143, 144, 1473bitr4d 298 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅𝑓𝑇) = 0𝑝 ↔ (𝑝𝑓𝑞) = 0𝑝))
149141, 148sylibd 227 . . . 4 (𝜑 → ((𝑝𝑓𝑞) ≠ 0𝑝 → (𝑝𝑓𝑞) = 0𝑝))
1501, 149pm2.61dne 2867 . . 3 (𝜑 → (𝑝𝑓𝑞) = 0𝑝)
151 df-0p 23160 . . 3 0𝑝 = (ℂ × {0})
152150, 151syl6eq 2659 . 2 (𝜑 → (𝑝𝑓𝑞) = (ℂ × {0}))
153 ofsubeq0 10864 . . 3 ((ℂ ∈ V ∧ 𝑝:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑞:ℂ⟶ℂ) → ((𝑝𝑓𝑞) = (ℂ × {0}) ↔ 𝑝 = 𝑞))
15473, 89, 91, 153syl3anc 1317 . 2 (𝜑 → ((𝑝𝑓𝑞) = (ℂ × {0}) ↔ 𝑝 = 𝑞))
155152, 154mpbid 220 1 (𝜑𝑝 = 𝑞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  Vcvv 3172  ifcif 4035  {csn 4124   class class class wbr 4577  cmpt 4637   × cxp 5026   Fn wfn 5785  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑓 cof 6770  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  -cneg 10118   / cdiv 10533  0cn0 11139  0𝑝c0p 23159  Polycply 23661  coeffccoe 23663  degcdgr 23664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-0p 23160  df-ply 23665  df-coe 23667  df-dgr 23668
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