MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plydivlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plydivlem3 24095
Description: Lemma for plydivex 24097. Base case of induction. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r 𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))
plydiv.0 (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))
Assertion
Ref Expression
plydivlem3 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑞,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝐺,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑞,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑅(𝑞)

Proof of Theorem plydivlem3
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plydiv.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 plybss 23995 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
3 ply0 24009 . . 3 (𝑆 ⊆ ℂ → 0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝜑 → 0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
5 plydiv.0 . . 3 (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))
6 cnex 10055 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ∈ V)
8 plyf 23999 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
9 ffn 6083 . . . . . . 7 (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 Fn ℂ)
101, 8, 93syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn ℂ)
11 plydiv.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
12 plyf 23999 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
13 ffn 6083 . . . . . . . 8 (𝐺:ℂ⟶ℂ → 𝐺 Fn ℂ)
1411, 12, 133syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 Fn ℂ)
15 plyf 23999 . . . . . . . 8 (0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) → 0𝑝:ℂ⟶ℂ)
16 ffn 6083 . . . . . . . 8 (0𝑝:ℂ⟶ℂ → 0𝑝 Fn ℂ)
174, 15, 163syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → 0𝑝 Fn ℂ)
18 inidm 3855 . . . . . . 7 (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
1914, 17, 7, 7, 18offn 6950 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 0𝑝) Fn ℂ)
20 eqidd 2652 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
21 eqidd 2652 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
22 0pval 23483 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℂ → (0𝑝𝑧) = 0)
2322adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0𝑝𝑧) = 0)
2414, 17, 7, 7, 18, 21, 23ofval 6948 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑓 · 0𝑝)‘𝑧) = ((𝐺𝑧) · 0))
2511, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:ℂ⟶ℂ)
2625ffvelrnda 6399 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
2726mul01d 10273 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑧) · 0) = 0)
2824, 27eqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑓 · 0𝑝)‘𝑧) = 0)
291, 8syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
3029ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
3130subid1d 10419 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹𝑧) − 0) = (𝐹𝑧))
327, 10, 19, 10, 20, 28, 31offveq 6960 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝)) = 𝐹)
3332eqeq1d 2653 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝)) = 0𝑝𝐹 = 0𝑝))
3432fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝))) = (deg‘𝐹))
35 dgrcl 24034 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
3611, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
3736nn0red 11390 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℝ)
3837recnd 10106 . . . . . . . 8 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℂ)
3938addid2d 10275 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + (deg‘𝐺)) = (deg‘𝐺))
4039eqcomd 2657 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘𝐺) = (0 + (deg‘𝐺)))
4134, 40breq12d 4698 . . . . 5 (𝜑 → ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘𝐹) < (0 + (deg‘𝐺))))
42 dgrcl 24034 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
431, 42syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
4443nn0red 11390 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℝ)
45 0red 10079 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4644, 37, 45ltsubaddd 10661 . . . . 5 (𝜑 → (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0 ↔ (deg‘𝐹) < (0 + (deg‘𝐺))))
4741, 46bitr4d 271 . . . 4 (𝜑 → ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝))) < (deg‘𝐺) ↔ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0))
4833, 47orbi12d 746 . . 3 (𝜑 → (((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)) ↔ (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 0)))
495, 48mpbird 247 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)))
50 plydiv.r . . . . . 6 𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))
51 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑞 = 0𝑝 → (𝐺𝑓 · 𝑞) = (𝐺𝑓 · 0𝑝))
5251oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑞 = 0𝑝 → (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝)))
5350, 52syl5eq 2697 . . . . 5 (𝑞 = 0𝑝𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝)))
5453eqeq1d 2653 . . . 4 (𝑞 = 0𝑝 → (𝑅 = 0𝑝 ↔ (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝)) = 0𝑝))
5553fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑞 = 0𝑝 → (deg‘𝑅) = (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝))))
5655breq1d 4695 . . . 4 (𝑞 = 0𝑝 → ((deg‘𝑅) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝))) < (deg‘𝐺)))
5754, 56orbi12d 746 . . 3 (𝑞 = 0𝑝 → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝))) < (deg‘𝐺))))
5857rspcev 3340 . 2 ((0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 0𝑝))) < (deg‘𝐺))) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
594, 49, 58syl2anc 694 1 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  Vcvv 3231  wss 3607   class class class wbr 4685   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  0cn0 11330  0𝑝c0p 23481  Polycply 23985  degcdgr 23988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-0p 23482  df-ply 23989  df-coe 23991  df-dgr 23992
This theorem is referenced by:  plydivex  24097
  Copyright terms: Public domain W3C validator