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Theorem plydivlem4 24096
Description: Lemma for plydivex 24097. Induction step. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r 𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))
plydiv.d (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
plydiv.e (𝜑 → (𝑀𝑁) = 𝐷)
plydiv.fz (𝜑𝐹 ≠ 0𝑝)
plydiv.u 𝑈 = (𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))
plydiv.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) · (𝑧𝐷)))
plydiv.al (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁)))
plydiv.a 𝐴 = (coeff‘𝐹)
plydiv.b 𝐵 = (coeff‘𝐺)
plydiv.m 𝑀 = (deg‘𝐹)
plydiv.n 𝑁 = (deg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
plydivlem4 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑓,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑓,𝐻,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝐷,𝑓,𝑧   𝑥,𝑀,𝑦,𝑧   𝑓,𝑁,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑝,𝑥,𝑦   𝑆,𝑓,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑞)   𝐴(𝑓,𝑞,𝑝)   𝐵(𝑓,𝑞,𝑝)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑞,𝑝)   𝑅(𝑧,𝑞)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑞,𝑝)   𝑀(𝑓,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem plydivlem4
StepHypRef Expression
1 plydiv.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 plybss 23995 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
4 plydiv.pl . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
5 plydiv.tm . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
6 plydiv.rc . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
7 plydiv.m1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
84, 5, 6, 7plydivlem1 24093 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
9 plydiv.a . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = (coeff‘𝐹)
109coef2 24032 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → 𝐴:ℕ0𝑆)
111, 8, 10syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴:ℕ0𝑆)
12 plydiv.m . . . . . . . . . . . 12 𝑀 = (deg‘𝐹)
13 dgrcl 24034 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
141, 13syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
1512, 14syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
1611, 15ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ 𝑆)
173, 16sseldd 3637 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
18 plydiv.g . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
19 plydiv.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (coeff‘𝐺)
2019coef2 24032 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → 𝐵:ℕ0𝑆)
2118, 8, 20syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵:ℕ0𝑆)
22 plydiv.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (deg‘𝐺)
23 dgrcl 24034 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
2418, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
2522, 24syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2621, 25ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝑁) ∈ 𝑆)
273, 26sseldd 3637 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑁) ∈ ℂ)
28 plydiv.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
2922, 19dgreq0 24066 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺 = 0𝑝 ↔ (𝐵𝑁) = 0))
3018, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺 = 0𝑝 ↔ (𝐵𝑁) = 0))
3130necon3bid 2867 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 ≠ 0𝑝 ↔ (𝐵𝑁) ≠ 0))
3228, 31mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝑁) ≠ 0)
3317, 27, 32divrecd 10842 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (1 / (𝐵𝑁))))
34 fvex 6239 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵𝑁) ∈ V
35 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝐵𝑁) → (𝑥𝑆 ↔ (𝐵𝑁) ∈ 𝑆))
36 neeq1 2885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝐵𝑁) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝐵𝑁) ≠ 0))
3735, 36anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐵𝑁) → ((𝑥𝑆𝑥 ≠ 0) ↔ ((𝐵𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵𝑁) ≠ 0)))
3837anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐵𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) ↔ (𝜑 ∧ ((𝐵𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵𝑁) ≠ 0))))
39 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐵𝑁) → (1 / 𝑥) = (1 / (𝐵𝑁)))
4039eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐵𝑁) → ((1 / 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (1 / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆))
4138, 40imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐵𝑁) → (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝐵𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵𝑁) ≠ 0)) → (1 / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆)))
4234, 41, 6vtocl 3290 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐵𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵𝑁) ≠ 0)) → (1 / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆)
4342ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐵𝑁) ∈ 𝑆 ∧ (𝐵𝑁) ≠ 0) → (1 / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆))
4426, 32, 43mp2and 715 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆)
455, 16, 44caovcld 6869 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝑀) · (1 / (𝐵𝑁))) ∈ 𝑆)
4633, 45eqeltrd 2730 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆)
47 plydiv.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
48 plydiv.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) · (𝑧𝐷)))
4948ply1term 24005 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ∈ 𝑆𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐻 ∈ (Poly‘𝑆))
503, 46, 47, 49syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ (Poly‘𝑆))
5150adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐻 ∈ (Poly‘𝑆))
52 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
534adantlr 751 . . . . 5 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
5451, 52, 53plyadd 24018 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐻𝑓 + 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆))
5554adantr 480 . . 3 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁)) → (𝐻𝑓 + 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆))
56 cnex 10055 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
5756a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ℂ ∈ V)
581adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
59 plyf 23999 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
6058, 59syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
61 mulcl 10058 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
6261adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
63 plyf 23999 . . . . . . . . . 10 (𝐻 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐻:ℂ⟶ℂ)
6451, 63syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐻:ℂ⟶ℂ)
6518adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
66 plyf 23999 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
68 inidm 3855 . . . . . . . . 9 (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
6962, 64, 67, 57, 57, 68off 6954 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐻𝑓 · 𝐺):ℂ⟶ℂ)
70 plyf 23999 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑝:ℂ⟶ℂ)
7170adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑝:ℂ⟶ℂ)
7262, 67, 71, 57, 57, 68off 6954 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐺𝑓 · 𝑝):ℂ⟶ℂ)
73 subsub4 10352 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑦) − 𝑧) = (𝑥 − (𝑦 + 𝑧)))
7473adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥𝑦) − 𝑧) = (𝑥 − (𝑦 + 𝑧)))
7557, 60, 69, 72, 74caofass 6973 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = (𝐹𝑓 − ((𝐻𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝑝))))
76 mulcom 10060 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
7776adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
7857, 64, 67, 77caofcom 6971 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐻𝑓 · 𝐺) = (𝐺𝑓 · 𝐻))
7978oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐻𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝑝)) = ((𝐺𝑓 · 𝐻) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝑝)))
80 adddi 10063 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
8180adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
8257, 67, 64, 71, 81caofdi 6975 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)) = ((𝐺𝑓 · 𝐻) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝑝)))
8379, 82eqtr4d 2688 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐻𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝑝)) = (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))
8483oveq2d 6706 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐹𝑓 − ((𝐻𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + (𝐺𝑓 · 𝑝))) = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))))
8575, 84eqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))))
8685eqeq1d 2653 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ↔ (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝))
8785fveq2d 6233 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) = (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))))
8887breq1d 4695 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁 ↔ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁))
8986, 88orbi12d 746 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁) ↔ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁)))
9089biimpa 500 . . 3 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁)) → ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁))
91 plydiv.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞))
92 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑞 = (𝐻𝑓 + 𝑝) → (𝐺𝑓 · 𝑞) = (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))
9392oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝑞 = (𝐻𝑓 + 𝑝) → (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑞)) = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))))
9491, 93syl5eq 2697 . . . . . 6 (𝑞 = (𝐻𝑓 + 𝑝) → 𝑅 = (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))))
9594eqeq1d 2653 . . . . 5 (𝑞 = (𝐻𝑓 + 𝑝) → (𝑅 = 0𝑝 ↔ (𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝))
9694fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑞 = (𝐻𝑓 + 𝑝) → (deg‘𝑅) = (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))))
9796breq1d 4695 . . . . 5 (𝑞 = (𝐻𝑓 + 𝑝) → ((deg‘𝑅) < 𝑁 ↔ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁))
9895, 97orbi12d 746 . . . 4 (𝑞 = (𝐻𝑓 + 𝑝) → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁) ↔ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁)))
9998rspcev 3340 . . 3 (((𝐻𝑓 + 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ ((𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻𝑓 + 𝑝)))) < 𝑁)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))
10055, 90, 99syl2anc 694 . 2 (((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))
10150, 18, 4, 5plymul 24019 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
1021, 101, 4, 5, 7plysub 24020 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆))
103 plydiv.al . . 3 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁)))
104 eqid 2651 . . . . . . 7 (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)) = (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺))
10512, 104dgrsub 24073 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐻𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), 𝑀))
1061, 101, 105syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), 𝑀))
107 plydiv.fz . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ≠ 0𝑝)
10812, 9dgreq0 24066 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑀) = 0))
1091, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑀) = 0))
110109necon3bid 2867 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 ≠ 0𝑝 ↔ (𝐴𝑀) ≠ 0))
111107, 110mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝑀) ≠ 0)
11217, 27, 111, 32divne0d 10855 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ≠ 0)
1133, 46sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ∈ ℂ)
11448coe1term 24060 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = if(𝐷 = 𝐷, ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)), 0))
115113, 47, 47, 114syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = if(𝐷 = 𝐷, ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)), 0))
116 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = 𝐷
117116iftruei 4126 . . . . . . . . . . . 12 if(𝐷 = 𝐷, ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)), 0) = ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁))
118115, 117syl6eq 2701 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)))
119 c0ex 10072 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
120119fvconst2 6510 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {0})‘𝐷) = 0)
12147, 120syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℕ0 × {0})‘𝐷) = 0)
122112, 118, 1213netr4d 2900 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) ≠ ((ℕ0 × {0})‘𝐷))
123 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻 = 0𝑝 → (coeff‘𝐻) = (coeff‘0𝑝))
124 coe0 24057 . . . . . . . . . . . . 13 (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
125123, 124syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻 = 0𝑝 → (coeff‘𝐻) = (ℕ0 × {0}))
126125fveq1d 6231 . . . . . . . . . . 11 (𝐻 = 0𝑝 → ((coeff‘𝐻)‘𝐷) = ((ℕ0 × {0})‘𝐷))
127126necon3i 2855 . . . . . . . . . 10 (((coeff‘𝐻)‘𝐷) ≠ ((ℕ0 × {0})‘𝐷) → 𝐻 ≠ 0𝑝)
128122, 127syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ≠ 0𝑝)
129 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (deg‘𝐻) = (deg‘𝐻)
130129, 22dgrmul 24071 . . . . . . . . 9 (((𝐻 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐻 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)) = ((deg‘𝐻) + 𝑁))
13150, 128, 18, 28, 130syl22anc 1367 . . . . . . . 8 (𝜑 → (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)) = ((deg‘𝐻) + 𝑁))
13248dgr1term 24061 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) ≠ 0 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (deg‘𝐻) = 𝐷)
133113, 112, 47, 132syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (deg‘𝐻) = 𝐷)
134 plydiv.e . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀𝑁) = 𝐷)
135133, 134eqtr4d 2688 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (deg‘𝐻) = (𝑀𝑁))
136135oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((deg‘𝐻) + 𝑁) = ((𝑀𝑁) + 𝑁))
13715nn0cnd 11391 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
13825nn0cnd 11391 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
139137, 138npcand 10434 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀𝑁) + 𝑁) = 𝑀)
140136, 139eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((deg‘𝐻) + 𝑁) = 𝑀)
141131, 140eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝜑 → (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)) = 𝑀)
142141ifeq1d 4137 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), 𝑀) = if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), 𝑀, 𝑀))
143 ifid 4158 . . . . . 6 if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), 𝑀, 𝑀) = 𝑀
144142, 143syl6eq 2701 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑀 ≤ (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), (deg‘(𝐻𝑓 · 𝐺)), 𝑀) = 𝑀)
145106, 144breqtrd 4711 . . . 4 (𝜑 → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) ≤ 𝑀)
146 eqid 2651 . . . . . . . 8 (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺)) = (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺))
1479, 146coesub 24058 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐻𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) = (𝐴𝑓 − (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺))))
1481, 101, 147syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → (coeff‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) = (𝐴𝑓 − (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺))))
149148fveq1d 6231 . . . . 5 (𝜑 → ((coeff‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = ((𝐴𝑓 − (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺)))‘𝑀))
1509coef3 24033 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
151 ffn 6083 . . . . . . . 8 (𝐴:ℕ0⟶ℂ → 𝐴 Fn ℕ0)
1521, 150, 1513syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 Fn ℕ0)
153146coef3 24033 . . . . . . . 8 ((𝐻𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺)):ℕ0⟶ℂ)
154 ffn 6083 . . . . . . . 8 ((coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺)):ℕ0⟶ℂ → (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺)) Fn ℕ0)
155101, 153, 1543syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺)) Fn ℕ0)
156 nn0ex 11336 . . . . . . . 8 0 ∈ V
157156a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
158 inidm 3855 . . . . . . 7 (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
159 eqidd 2652 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑀) = (𝐴𝑀))
160 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (coeff‘𝐻) = (coeff‘𝐻)
161160, 19, 129, 22coemulhi 24055 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺))‘((deg‘𝐻) + 𝑁)) = (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵𝑁)))
16250, 18, 161syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺))‘((deg‘𝐻) + 𝑁)) = (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵𝑁)))
163140fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺))‘((deg‘𝐻) + 𝑁)) = ((coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺))‘𝑀))
164133fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) = ((coeff‘𝐻)‘𝐷))
165164, 118eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) = ((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)))
166165oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵𝑁)) = (((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) · (𝐵𝑁)))
16717, 27, 32divcan1d 10840 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴𝑀) / (𝐵𝑁)) · (𝐵𝑁)) = (𝐴𝑀))
168166, 167eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((coeff‘𝐻)‘(deg‘𝐻)) · (𝐵𝑁)) = (𝐴𝑀))
169162, 163, 1683eqtr3d 2693 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺))‘𝑀) = (𝐴𝑀))
170169adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ0) → ((coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺))‘𝑀) = (𝐴𝑀))
171152, 155, 157, 157, 158, 159, 170ofval 6948 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑓 − (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑀)))
17215, 171mpdan 703 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑓 − (coeff‘(𝐻𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑀)))
17317subidd 10418 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑀)) = 0)
174149, 172, 1733eqtrd 2689 . . . 4 (𝜑 → ((coeff‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = 0)
175 dgrcl 24034 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) ∈ ℕ0)
176102, 175syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) ∈ ℕ0)
177176nn0red 11390 . . . . . . . 8 (𝜑 → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) ∈ ℝ)
17815nn0red 11390 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
17925nn0red 11390 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
180177, 178, 179ltsub1d 10674 . . . . . . 7 (𝜑 → ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) < 𝑀 ↔ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < (𝑀𝑁)))
181134breq2d 4697 . . . . . . 7 (𝜑 → (((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < (𝑀𝑁) ↔ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
182180, 181bitrd 268 . . . . . 6 (𝜑 → ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) < 𝑀 ↔ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
183182orbi2d 738 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) < 𝑀) ↔ ((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷)))
184 eqid 2651 . . . . . . 7 (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) = (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)))
185 eqid 2651 . . . . . . 7 (coeff‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) = (coeff‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)))
186184, 185dgrlt 24067 . . . . . 6 (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) < 𝑀) ↔ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = 0)))
187102, 15, 186syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) < 𝑀) ↔ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = 0)))
188183, 187bitr3d 270 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷) ↔ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) ≤ 𝑀 ∧ ((coeff‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)))‘𝑀) = 0)))
189145, 174, 188mpbir2and 977 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
190 eqeq1 2655 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → (𝑓 = 0𝑝 ↔ (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝))
191 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → (deg‘𝑓) = (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))))
192191oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → ((deg‘𝑓) − 𝑁) = ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁))
193192breq1d 4695 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → (((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷 ↔ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷))
194190, 193orbi12d 746 . . . . 5 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) ↔ ((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷)))
195 plydiv.u . . . . . . . . 9 𝑈 = (𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))
196 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → (𝑓𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = ((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)))
197195, 196syl5eq 2697 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → 𝑈 = ((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)))
198197eqeq1d 2653 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → (𝑈 = 0𝑝 ↔ ((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝))
199197fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → (deg‘𝑈) = (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))))
200199breq1d 4695 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → ((deg‘𝑈) < 𝑁 ↔ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁))
201198, 200orbi12d 746 . . . . . 6 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → ((𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁) ↔ (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁)))
202201rexbidv 3081 . . . . 5 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → (∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁)))
203194, 202imbi12d 333 . . . 4 (𝑓 = (𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁)) ↔ (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁))))
204203rspcv 3336 . . 3 ((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑈 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑈) < 𝑁)) → (((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) = 0𝑝 ∨ ((deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺))) − 𝑁) < 𝐷) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁))))
205102, 103, 189, 204syl3c 66 . 2 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘((𝐹𝑓 − (𝐻𝑓 · 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · 𝑝))) < 𝑁))
206100, 205r19.29a 3107 1 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  wss 3607  ifcif 4119  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762   × cxp 5141   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  0cn0 11330  cexp 12900  0𝑝c0p 23481  Polycply 23985  coeffccoe 23987  degcdgr 23988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-0p 23482  df-ply 23989  df-coe 23991  df-dgr 23992
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