MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plymul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plymul 24173
Description: The product of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.2 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plymul.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
plymul (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem plymul
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑧 𝑎 𝑏 𝑗 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 elply2 24151 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))))
32simprbi 483 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
41, 3syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
5 plyadd.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
6 elply2 24151 . . . 4 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))))
76simprbi 483 . . 3 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))
85, 7syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))
9 reeanv 3245 . . 3 (∃𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) ↔ (∃𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))))
10 reeanv 3245 . . . . 5 (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)(((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) ↔ (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))))
11 simp1l 1240 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝜑)
1211, 1syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
1311, 5syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
14 plyadd.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
1511, 14sylan 489 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
16 simp1rl 1305 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
17 simp1rr 1306 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
18 simp2l 1242 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
19 simp2r 1243 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
20 simp3ll 1311 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → (𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0})
21 simp3rl 1313 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → (𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0})
22 simp3lr 1312 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))
23 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝑘) = (𝑤𝑘))
2423oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((𝑎𝑘) · (𝑤𝑘)))
2524sumeq2sdv 14634 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑤𝑘)))
26 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝑎𝑘) = (𝑎𝑗))
27 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝑤𝑘) = (𝑤𝑗))
2826, 27oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑎𝑘) · (𝑤𝑘)) = ((𝑎𝑗) · (𝑤𝑗)))
2928cbvsumv 14625 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑤𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑗) · (𝑤𝑗))
3025, 29syl6eq 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑗) · (𝑤𝑗)))
3130cbvmptv 4902 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑗) · (𝑤𝑗)))
3222, 31syl6eq 2810 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐹 = (𝑤 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑗) · (𝑤𝑗))))
33 simp3rr 1314 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))
3423oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((𝑏𝑘) · (𝑤𝑘)))
3534sumeq2sdv 14634 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑤𝑘)))
36 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝑏𝑘) = (𝑏𝑗))
3736, 27oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑏𝑘) · (𝑤𝑘)) = ((𝑏𝑗) · (𝑤𝑗)))
3837cbvsumv 14625 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑤𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑗) · (𝑤𝑗))
3935, 38syl6eq 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑗) · (𝑤𝑗)))
4039cbvmptv 4902 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑗) · (𝑤𝑗)))
4133, 40syl6eq 2810 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐺 = (𝑤 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑗) · (𝑤𝑗))))
42 plymul.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
4311, 42sylan 489 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
4412, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 32, 41, 43plymullem 24171 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
45443expia 1115 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))) → ((((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)))
4645rexlimdvva 3176 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)(((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)))
4710, 46syl5bir 233 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ((∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)))
4847rexlimdvva 3176 . . 3 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)))
499, 48syl5bir 233 . 2 (𝜑 → ((∃𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)))
504, 8, 49mp2and 717 1 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051  cun 3713  wss 3715  {csn 4321  cmpt 4881  cima 5269  cfv 6049  (class class class)co 6813  𝑓 cof 7060  𝑚 cmap 8023  cc 10126  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  0cn0 11484  cuz 11879  ...cfz 12519  cexp 13054  Σcsu 14615  Polycply 24139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-ply 24143
This theorem is referenced by:  plysub  24174  plymulcl  24176  plyco  24196  plydivlem2  24248  plydivlem4  24250  plydiveu  24252  plymulx0  30933  mpaaeu  38222  rngunsnply  38245
  Copyright terms: Public domain W3C validator