MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plymul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plymul 23878
Description: The product of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.2 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plymul.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
plymul (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem plymul
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑧 𝑎 𝑏 𝑗 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 elply2 23856 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))))
32simprbi 480 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
41, 3syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
5 plyadd.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
6 elply2 23856 . . . 4 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))))
76simprbi 480 . . 3 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))
85, 7syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))
9 reeanv 3097 . . 3 (∃𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) ↔ (∃𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))))
10 reeanv 3097 . . . . 5 (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)(((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) ↔ (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))))
11 simp1l 1083 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝜑)
1211, 1syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
1311, 5syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
14 plyadd.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
1511, 14sylan 488 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
16 simp1rl 1124 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
17 simp1rr 1125 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
18 simp2l 1085 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
19 simp2r 1086 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
20 simp3ll 1130 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → (𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0})
21 simp3rl 1132 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → (𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0})
22 simp3lr 1131 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))))
23 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝑘) = (𝑤𝑘))
2423oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((𝑎𝑘) · (𝑤𝑘)))
2524sumeq2sdv 14368 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑤𝑘)))
26 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝑎𝑘) = (𝑎𝑗))
27 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝑤𝑘) = (𝑤𝑗))
2826, 27oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑎𝑘) · (𝑤𝑘)) = ((𝑎𝑗) · (𝑤𝑗)))
2928cbvsumv 14360 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑤𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑗) · (𝑤𝑗))
3025, 29syl6eq 2671 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑗) · (𝑤𝑗)))
3130cbvmptv 4710 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑗) · (𝑤𝑗)))
3222, 31syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐹 = (𝑤 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑗) · (𝑤𝑗))))
33 simp3rr 1133 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))
3423oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((𝑏𝑘) · (𝑤𝑘)))
3534sumeq2sdv 14368 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑤𝑘)))
36 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝑏𝑘) = (𝑏𝑗))
3736, 27oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑏𝑘) · (𝑤𝑘)) = ((𝑏𝑗) · (𝑤𝑗)))
3837cbvsumv 14360 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑤𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑗) · (𝑤𝑗))
3935, 38syl6eq 2671 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑗) · (𝑤𝑗)))
4039cbvmptv 4710 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑗) · (𝑤𝑗)))
4133, 40syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → 𝐺 = (𝑤 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑗) · (𝑤𝑗))))
42 plymul.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
4311, 42sylan 488 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
4412, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 32, 41, 43plymullem 23876 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)) ∧ (((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘)))))) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
45443expia 1264 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∧ 𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))) → ((((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)))
4645rexlimdvva 3031 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)(((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)))
4710, 46syl5bir 233 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ((∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)))
4847rexlimdvva 3031 . . 3 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)))
499, 48syl5bir 233 . 2 (𝜑 → ((∃𝑚 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑎 “ (ℤ‘(𝑚 + 1))) = {0} ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)((𝑏 “ (ℤ‘(𝑛 + 1))) = {0} ∧ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑏𝑘) · (𝑧𝑘))))) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆)))
504, 8, 49mp2and 714 1 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  cun 3553  wss 3555  {csn 4148  cmpt 4673  cima 5077  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑓 cof 6848  𝑚 cmap 7802  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  0cn0 11236  cuz 11631  ...cfz 12268  cexp 12800  Σcsu 14350  Polycply 23844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-ply 23848
This theorem is referenced by:  plysub  23879  plymulcl  23881  plyco  23901  plydivlem2  23953  plydivlem4  23955  plydiveu  23957  plymulx0  30404  mpaaeu  37201  rngunsnply  37224
  Copyright terms: Public domain W3C validator