Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  plymul02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plymul02 29794
Description: Product of a polynomial with the zero polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
plymul02 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0𝑝𝑓 · 𝐹) = 0𝑝)

Proof of Theorem plymul02
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyf 23642 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
21ffvelrnda 6151 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
32mul02d 9985 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · (𝐹𝑥)) = 0)
43mpteq2dva 4570 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 · (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
5 c0ex 9789 . . . . . 6 0 ∈ V
65fconst 5888 . . . . 5 (ℂ × {0}):ℂ⟶{0}
7 df-0p 23118 . . . . . 6 0𝑝 = (ℂ × {0})
87feq1i 5834 . . . . 5 (0𝑝:ℂ⟶{0} ↔ (ℂ × {0}):ℂ⟶{0})
96, 8mpbir 219 . . . 4 0𝑝:ℂ⟶{0}
10 ffn 5843 . . . 4 (0𝑝:ℂ⟶{0} → 0𝑝 Fn ℂ)
119, 10mp1i 13 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0𝑝 Fn ℂ)
12 ffn 5843 . . . 4 (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 Fn ℂ)
131, 12syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 Fn ℂ)
14 cnex 9772 . . . 4 ℂ ∈ V
1514a1i 11 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ℂ ∈ V)
16 inidm 3687 . . 3 (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
17 0pval 23119 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (0𝑝𝑥) = 0)
1817adantl 480 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝑝𝑥) = 0)
19 eqidd 2515 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
2011, 13, 15, 15, 16, 18, 19offval 6678 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0𝑝𝑓 · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 · (𝐹𝑥))))
21 fconstmpt 4979 . . . 4 (ℂ × {0}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
227, 21eqtri 2536 . . 3 0𝑝 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
2322a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0𝑝 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
244, 20, 233eqtr4d 2558 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0𝑝𝑓 · 𝐹) = 0𝑝)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  Vcvv 3077  {csn 4028  cmpt 4541   × cxp 4930   Fn wfn 5684  wf 5685  cfv 5689  (class class class)co 6426  𝑓 cof 6669  cc 9689  0cc0 9691   · cmul 9696  0𝑝c0p 23117  Polycply 23628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-inf2 8297  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768  ax-pre-sup 9769
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-isom 5698  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-of 6671  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-oadd 7327  df-er 7505  df-map 7622  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-sup 8107  df-oi 8174  df-card 8524  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-div 10434  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-n0 11048  df-z 11119  df-uz 11428  df-rp 11575  df-fz 12066  df-fzo 12203  df-seq 12532  df-exp 12591  df-hash 12848  df-cj 13546  df-re 13547  df-im 13548  df-sqrt 13682  df-abs 13683  df-clim 13933  df-sum 14134  df-0p 23118  df-ply 23632
This theorem is referenced by:  plymulx  29796
  Copyright terms: Public domain W3C validator